【第四章 习题21】
设 K K K与 F F F是度量空间 X X X中不相交的集， K K K是紧的， F F F是闭的。证明 p ∈ K p \in K p∈K， q ∈ F q \in F q∈F时，必有 δ > 0 \delta > 0 δ>0合于 d ( p , q ) > δ d(p,q) > \delta d(p,q)>δ。如果这两个不相交的集都是闭集，但都不是紧集，那么结论可能不成立。
【证明】
设
ρ F ( x ) = inf z ∈ F d ( x , z ) \rho_{F}(x) = \inf_{z \in F}{d(x,z)} ρF(x)=z∈Finfd(x,z)
根据前面的结论， ρ F ( x ) \rho_{F}(x) ρF(x)是 X X X上的一致连续函数，并且当 p ∈ K p \in K p∈K时， ρ F ( p ) > 0 \rho_{F}(p) > 0 ρF(p)>0。由于 K K K是紧的，所以 ρ F ( K ) \rho_{F}(K) ρF(K)也是紧集，由于 ρ F ( K ) ⊂ R + \rho_{F}(K) \subset R^{+} ρF(K)⊂R+，所以 ρ F ( K ) \rho_{F}(K) ρF(K)有最小值，从而
d ( p , q ) ≥ inf ρ F ( K ) d(p,q) \geq \inf{\rho_{F}(K)} d(p,q)≥infρF(K)
也就是说存在
δ = inf ρ F ( K ) 2 > 0 \delta = \frac{\inf{\rho_{F}(K)}}{2} > 0 δ=2infρF(K)>0
满足
d ( p , q ) > δ d(p,q) > \delta d(p,q)>δ
