改进位删除谜题的求解方法

问题背景

给定长度为 n 的二进制向量，如何删除恰好 n/3 个位，使剩余二进制向量的不同数量最小化。该问题被称为“位删除谜题”。

以下是该问题的示例：

• 对于 n = 3 的情况，最优解是 2，对应两个不同的向量 11 和 00。
• 对于 n = 6 的情况，最优解是 4。
• 对于 n = 9 的情况，最优解是 6。
• 对于 n = 12 的情况，最优解是 10。

对于较小的 n，这个问题可以通过暴力搜索法求解。但是当 n 变大时，暴力搜索法将变得非常耗时。

解决方案

为了提高求解效率，我们可以使用一种称为“贪婪算法”的方法。贪婪算法是一种通过在每一步中做出局部最优选择来寻找全局最优解的方法。

在该问题中，贪婪算法可以如下实现：

1. 首先，将所有长度为 n 的二进制向量按字典序排列。
2. 然后，从排列的第一个向量开始，依次考虑每个向量。
3. 对于每个向量，如果它与已经选择的向量不同，则将其添加到选择的向量列表中。
4. 重复步骤 3，直到选择的向量列表中包含所有不同的向量。

这种贪婪算法可以保证找到最优解。但是，它仍然需要遍历所有的向量，因此时间复杂度仍然很高。

为了进一步提高求解效率，我们可以使用一种称为“回溯法”的方法。回溯法是一种通过尝试所有可能的解决方案并回溯到上一步来寻找最优解的方法。

在该问题中，回溯法可以如下实现：

1. 首先，将所有长度为 n 的二进制向量按字典序排列。
2. 然后，从排列的第一个向量开始，依次考虑每个向量。
3. 对于每个向量，如果它与已经选择的向量不同，则将其添加到选择的向量列表中。
4. 如果选择的向量列表中包含所有不同的向量，则这是一个解。
5. 否则，继续考虑下一个向量。
6. 如果考虑到了最后一个向量，则回溯到上一步并尝试另一个向量。

这种回溯法可以保证找到最优解。而且，由于它只需要遍历一部分向量，因此时间复杂度要比贪婪算法低。

代码例子

def solve(n):"""求解位删除谜题。参数：n: 二进制向量的长度。返回值：最优解。"""# 将所有长度为 n 的二进制向量按字典序排列。vectors = list(product([0, 1], repeat=n))# 使用回溯法搜索最优解。best_solution = Nonebest_size = ndef backtrack(solution, remaining_vectors):nonlocal best_solution, best_size# 如果剩余向量为空，则这是一个解。if not remaining_vectors:if len(solution) < best_size:best_solution = solutionbest_size = len(solution)return# 尝试添加下一个向量。for i, vector in enumerate(remaining_vectors):# 如果该向量与已经选择的向量不同，则将其添加到选择的向量列表中。if vector not in solution:solution.append(vector)backtrack(solution, remaining_vectors[:i] + remaining_vectors[i+1:])solution.pop()backtrack([], vectors)return best_solution# 求解 n = 12 的情况。
n = 12
solution = solve(n)# 打印最优解。
print(f"最优解：{solution}")