一、Java 函数（方法）基础
1. 什么是函数？
函数（方法）是 一段可复用的代码块，通过 函数调用 执行，并可返回值。在 Java 里，函数也被叫做方法，它是一段具有特定功能的、可重复使用的代码块。函数能够把复杂的问题分解成小的子问题，提升代码的可读性与可维护性。
Java 方法的格式：
修饰符 返回值类型 函数名(参数列表)
{ // 函数体 return 返回值; // 如果返回值类型是 void，则不需要 return 语句
}
- 修饰符：像 public、private、static 等，用于限定函数的访问权限和特性。
- 返回值类型：函数执行完毕后返回结果的数据类型，若不返回任何值，使用 void。
- 函数名：给函数起的名称，要遵循命名规范。
- 参数列表：传递给函数的参数，多个参数用逗号分隔。
- 函数体：实现具体功能的代码。
- 返回值：使用 return 语句返回函数的执行结果。
2. Java 方法定义
（1）无参数无返回值
public static void sayHello() {
System.out.println("Hello, 蓝桥杯!");
}
调用：
sayHello();
（2）有参数有返回值
public static int add(int a, int b) {
return a + b;
}
调用：
int sum = add(5, 3); // sum = 8
3. 递归函数
递归（Recursion）是函数自己调用自己
1. 递归的概念
递归是指在函数的定义中使用函数自身的方法。递归包含两个关键要素：
基线条件（终止条件）：能够直接得出结果，不再进行递归调用的条件，避免无限递归。
递归条件：函数调用自身来解决规模更小的子问题。
通常用于：
- 数学计算（如阶乘、斐波那契数列）
- 问题拆解（如汉诺塔、深度优先搜索）
二、递归的基本概念
1. 递归的两部分
✅ （1）基准情况（终止条件）：防止无限递归
✅ （2）递归关系（拆分问题）：将大问题分解成小问题
示例：递归求 n!
public static int factorial(int n) {if (n == 0 || n == 1) { // 终止条件return 1;}return n * factorial(n - 1); // 递归调用}调用：System.out.println(factorial(5)); // 5! = 120三、练习 1：递归求阶乘
题目描述
输入 n，求 n!（n 的阶乘）。
输入示例
5
输出示例
120
Java 代码
import java.util.Scanner;public class Main {public static int factorial(int n) {if (n == 0 || n == 1) {return 1;}return n * factorial(n - 1);}public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int n = scanner.nextInt();System.out.println(factorial(n));}}✅ 考点
- 递归终止条件：n == 0 || n == 1
- 递归调用：n * factorial(n - 1)
- 时间复杂度 O(n)
⚠️ 易错点
- 没有终止条件，导致无限递归
- n 太大时可能导致栈溢出（StackOverflowError）
四、练习 2：递归求斐波那契数列
1. 斐波那契数列定义
F(n)=F(n−1)+F(n−2)
其中：
- F(0) = 0
- F(1) = 1
题目描述
输入 n，输出斐波那契数列的第 n 项。
输入示例
6
输出示例
8
Java 代码
import java.util.Scanner;public class Main {public static int fibonacci(int n) {if (n == 0) {return 0;} else if (n == 1) {return 1;}return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);}public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int n = scanner.nextInt();System.out.println(fibonacci(n));}}✅代码解释：
当 n 为 0 时返回 0，当 n 为 1 时返回 1，这是基线条件。
当 n 大于 1 时，函数调用自身 fibonacci(n - 1) 和 fibonacci(n - 2) 并将结果相加，这是递归条件。
考点
- 递归终止条件：n == 0 或 n == 1
- 递归公式：F(n) = F(n-1) + F(n-2)
- 时间复杂度 O(2^n)（指数级，效率低）
⚠️ 易错点
- 直接递归 O(2^n) 太慢，n 较大时严重超时
- 优化方案：使用数组存储已计算值（记忆化递归）
五、练习 3：汉诺塔问题
1. 题目介绍
汉诺塔问题：汉诺塔问题是一个经典的递归问题，目标是把所有盘子从一根柱子移动到另一根柱子，每次只能移动一个盘子，且大盘子不能放在小盘子上面。
- 有 n 个盘子，从 A 移到 C，借助 B。
- 规则：
- 一次只能移动一个盘子
- 不能将大盘子放在小盘子上
输入
3
输出
Move disk 1 from A to C
Move disk 2 from A to B
Move disk 1 from C to B
Move disk 3 from A to C
Move disk 1 from B to A
Move disk 2 from B to C
Move disk 1 from A to C
Java 代码
import java.util.Scanner;public class Main {public static void hanoi(int n, char from, char aux, char to) {if (n == 1) {System.out.println("Move disk 1 from " + from + " to " + to);return;}hanoi(n - 1, from, to, aux);System.out.println("Move disk " + n + " from " + from + " to " + to);hanoi(n - 1, aux, from, to);}public static void main(String[] args) {Scanner scanner = new Scanner(System.in);int n = scanner.nextInt();hanoi(n, 'A', 'B', 'C');}}代码解释：
- 当
n为 1 时，直接将盘子从源柱子移动到目标柱子，这是基线条件。 - 当
n大于 1 时，先把n - 1个盘子从源柱子借助目标柱子移动到辅助柱子，再把第n个盘子从源柱子移动到目标柱子，最后把n - 1个盘子从辅助柱子借助源柱子移动到目标柱子，这是递归条件。
✅ 考点
- 递归拆解：
- 移动 n-1 个盘子 A → B
- 移动第 n 个盘子 A → C
- 移动 n-1 个盘子 B → C
- 时间复杂度 O(2^n)
⚠️ 易错点
- if (n == 1) 不能少，否则死循环
- hanoi(n - 1, from, to, aux) 和 hanoi(n - 1, aux, from, to) 位置不能搞错
六、蓝桥杯递归常考点
| 考点 | 典型题目 | 难点 |
| 递归求阶乘 | n! = n * (n-1)! | 终止条件 n == 1 |
| 递归求斐波那契 | F(n) = F(n-1) + F(n-2) | 优化记忆化递归 |
| 汉诺塔 | 递归移动盘子 | 移动顺序和 O(2^n) |
七、递归的易错点总结
1. 基线条件缺失或错误
如果基线条件不正确或者缺失，会导致无限递归，最终引发栈溢出异常。
2. 重复计算问题
在递归过程中，可能会出现大量的重复计算，比如斐波那契数列递归实现，会使时间复杂度呈指数级增长。可以使用记忆化搜索或迭代方法来优化。
3. 递归深度过大
当递归深度过大时，会占用大量的栈空间，容易导致栈溢出。要注意递归深度的控制，必要时转换为迭代实现。
递归核心思想
1. 递归三要素
终止条件（Base Case）：递归何时结束。
递归步骤（Recursive Step）：如何将问题分解为更小的子问题。
问题规模缩小：每次递归调用应使问题更接近终止条件。
