第四十六天|动态规划|子序列|647. 回文子串，5.最长回文子串， 516.最长回文子序列，动态规划总结篇

647. 回文子串

暴力解法

动态规划

动态规划简洁版

双指针法--中心扩散法

5.最长回文子串

516.最长回文子序列

动态规划总结篇

647. 回文子串

暴力解法

两层for循环，遍历区间起始位置和终止位置，然后还需要一层遍历判断这个区间是不是回文。所以时间复杂度：O(n^3)

动态规划

确定dp数组以及下标的含义

如果大家做了很多这种子序列相关的题目，在定义dp数组的时候很自然就会想题目求什么，我们就如何定义dp数组。

绝大多数题目确实是这样，不过本题如果我们定义，dp[i] 为下标i结尾的字符串有 dp[i]个回文串的话，我们会发现很难找到递归关系。

dp[i] 和 dp[i-1] ，dp[i + 1] 看上去都没啥关系。

所以我们要看回文串的性质。如图：

我们在判断字符串S是否是回文，那么如果我们知道 s[1]，s[2]，s[3] 这个子串是回文的，那么只需要比较 s[0]和s[4]这两个元素是否相同，如果相同的话，这个字符串s 就是回文串。

那么此时我们是不是能找到一种递归关系，也就是判断一个子字符串（字符串下标范围[i,j]）是否回文，依赖于，子字符串（下标范围[i + 1, j - 1]））是否是回文。

所以为了明确这种递归关系，我们的dp数组是要定义成一位二维dp数组。

布尔类型的dp[i][j]：表示区间范围[i,j] （注意是左闭右闭）的子串是否是回文子串，如果是，则dp[i][j]为true，否则为false。

确定递推公式

在确定递推公式时，就要分析如下几种情况。

整体上是两种，就是s[i]与s[j]相等，s[i]与s[j]不相等这两种。

当s[i]与s[j]不相等，那没啥好说的了，dp[i][j]一定是false。

当s[i]与s[j]相等时，这就复杂一些了，有如下三种情况

情况一：下标i 与 j相同，同一个字符例如a，当然是回文子串
情况二：下标i 与 j相差为1，例如aa，也是回文子串
情况三：下标：i 与 j相差大于1的时候，例如cabac，此时s[i]与s[j]已经相同了，我们看i到j区间是不是回文子串就看aba是不是回文就可以了，那么aba的区间就是 i+1 与 j-1区间，这个区间是不是回文就看dp[i + 1][j - 1]是否为true。

以上三种情况分析完了，那么递归公式如下：

if (s[i] == s[j]) {if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二result++;dp[i][j] = true;} else if (dp[i + 1][j - 1]) { // 情况三result++;dp[i][j] = true;}
}

result就是统计回文子串的数量。

注意这里我没有列出当s[i]与s[j]不相等的时候，因为在下面dp[i][j]初始化的时候，就初始为false。

dp数组如何初始化

dp[i][j]可以初始化为true么？当然不行，怎能刚开始就全都匹配上了。

所以dp[i][j]初始化为false。

确定遍历顺序

遍历顺序可就有点讲究了。

首先从递推公式中可以看出，情况三是根据dp[i + 1][j - 1]是否为true，在对dp[i][j]进行赋值true的。

dp[i + 1][j - 1] 在 dp[i][j]的左下角，如图

如果这矩阵是从上到下，从左到右遍历，那么会用到没有计算过的dp[i + 1][j - 1]，也就是根据不确定是不是回文的区间[i+1,j-1]，来判断了[i,j]是不是回文，那结果一定是不对的。

所以一定要从下到上，从左到右遍历，这样保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

有的代码实现是优先遍历列，然后遍历行，其实也是一个道理，都是为了保证dp[i + 1][j - 1]都是经过计算的。

举例推导 dp数组

举例，输入："aaa"，dp[i][j]状态如下：

图中有6个true，所以就是有6个回文子串。

注意因为dp[i][j]的定义，所以j一定是大于等于i的，那么在填充dp[i][j]的时候一定是只填充右上半部分！！！

   class Solution {public int countSubstrings(String s) {// 动态规划法char[] chars = s.toCharArray();int len = chars.length;boolean[][] dp = new boolean[len][len];int result = 0;for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {for (int j = i; j < len; j++) {if (chars[i] == chars[j]){if (j - i <= 1) { // 情况一 和 情况二result++;dp[i][j] = true;} else if (dp[i + 1][j - 1]) { //情况三result++;dp[i][j] = true;}}}}return result;}}

时间复杂度：O(n^2)
空间复杂度：O(n^2)

动态规划简洁版

和动态规划法大差不差

    class Solution {public int countSubstrings(String s) {// 动态规划法--简洁版char[] chars = s.toCharArray();int len = chars.length;boolean[][] dp = new boolean[len][len];int result = 0;for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {for (int j = i; j < len; j++) {if (chars[i] == chars[j] && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1])) {result++;dp[i][j] = true;}}}return result;}}

双指针法--中心扩散法

动态规划的空间复杂度是偏高的，我们再看一下双指针法。

首先确定回文串，就是找中心然后向两边扩散看是不是对称的就可以了。

在遍历中心点的时候，要注意中心点有两种情况。

一个元素可以作为中心点，两个元素也可以作为中心点。

那么有人同学问了，三个元素还可以做中心点呢。其实三个元素就可以由一个元素左右添加元素得到，四个元素则可以由两个元素左右添加元素得到。

所以我们在计算的时候，要注意一个元素为中心点和两个元素为中心点的情况。

    class Solution {public int countSubstrings(String s) {// 双指针法--中心扩散法int ans = 0;int len = s.length();//总共有2 * len - 1个中心点for (int i = 0; i < 2 * len - 1; i++) {//通过遍历每个回文中心，向两边扩散，并判断是否回文字串//有两种情况，left == right，right = left + 1，这两种回文中心是不一样的int left = i / 2, right = left + i % 2;while (left >= 0 && right < len && s.charAt(left) == s.charAt(right)) {//如果当前是一个回文串，则记录数量ans++;left--;right++;}}return ans;}}

时间复杂度：O(n^2)
空间复杂度：O(1)

5.最长回文子串

647. 同一題的思路改一下、加一點，就能通過LeetCode 5

    class Solution {public String longestPalindrome(String s) {//題目要求要return 最長的回文連續子串，故需要記錄當前最長的連續回文子串長度、最終起點、最終終點。int finalStart = 0;int finalEnd = 0;int finalLen = 0;char[] chars = s.toCharArray();int len = chars.length;boolean[][] dp = new boolean[len][len];for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {for (int j = i; j < len; j++) {if (chars[i] == chars[j] && (j - i <= 1 || dp[i + 1][j - 1])) {dp[i][j] = true;}//和LeetCode 647，差別就在這個if statement。//如果當前[i, j]範圍內的substring是回文子串(dp[i][j]) 且(&&) 長度大於當前要記錄的最終長度(j - i + 1 > finalLen)//我們就更新 當前最長的連續回文子串長度、最終起點、最終終點if (dp[i][j] && j - i + 1 > finalLen) {finalLen = j - i + 1;finalStart = i;finalEnd = j;}}}//String.substring這個method的用法是[起點, 終點)，包含起點，不包含終點（左閉右開區間），故終點 + 1。return s.substring(finalStart, finalEnd + 1);}}

516.最长回文子序列

回文子串是要连续的，回文子序列可不是连续的！ 回文子串，回文子序列都是动态规划经典题目。

确定dp数组以及下标的含义

dp[i][j]：字符串s在[i, j]范围内最长的回文子序列的长度为dp[i][j]。

确定递推公式

在判断回文子串的题目中，关键逻辑就是看s[i]与s[j]是否相同。

如果s[i]与s[j]相同，那么dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;

如果s[i]与s[j]不相同，说明s[i]和s[j]的同时加入 并不能增加[i,j]区间回文子序列的长度，那么分别加入s[i]、s[j]看看哪一个可以组成最长的回文子序列。

加入s[j]的回文子序列长度为dp[i + 1][j]。

加入s[i]的回文子序列长度为dp[i][j - 1]。

那么dp[i][j]一定是取最大的，即：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);

dp数组如何初始化

首先要考虑当i 和j 相同的情况，从递推公式：dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2; 可以看出递推公式是计算不到 i 和j相同时候的情况。

所以需要手动初始化一下，当i与j相同，那么dp[i][j]一定是等于1的，即：一个字符的回文子序列长度就是1。

其他情况dp[i][j]初始为0就行，这样递推公式：dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]); 中dp[i][j]才不会被初始值覆盖。

确定遍历顺序

从递归公式中，可以看出，dp[i][j] 依赖于 dp[i + 1][j - 1] ，dp[i + 1][j] 和 dp[i][j - 1]，如图

所以遍历i的时候一定要从下到上遍历，这样才能保证下一行的数据是经过计算的。

j的话，可以正常从左向右遍历。

dp[0][s.size() - 1]; 为最终结果。

    class Solution {public int longestPalindromeSubseq(String s) {// fff版本
//            int[][] dp = new int[s.length()][s.length()];
//            for (int i = 0; i < s.length(); i++) {
//                dp[i][i] = 1;
//            }
//            for (int i = s.length() - 1; i >= 0; i--) {
//                for (int j = i+1; j < s.length(); j++) {
//                    if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
//                        dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2;
//                    } else {
//                        dp[i][j] = Math.max(dp[i+1][j],dp[i][j-1]);
//                    }
//                }
//            }
//            return dp[0][s.length()-1];// 初始化可以放在遍历时候的for循环里，不用单独拿出来// 以上的简化版int len = s.length();int[][] dp = new int[len][len];for (int i = len - 1; i >= 0; i--) {dp[i][i] = 1; // 初始化for (int j = i + 1; j < len; j++) {if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;} else {dp[i][j] = Math.max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]);}}}return dp[0][len - 1];}}

时间复杂度: O(n^2)
空间复杂度: O(n^2)