嵌入式硬件篇---数字电子技术中的逻辑运算

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前言

本文仅仅简单介绍了数字电子技术中的逻辑运算。

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一、基本逻辑运算

1. 与运算（AND）

符号

符号：𝐴⋅𝐵 或 𝐴𝐵

真值表

真值表：

A B Y
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1

功能

功能：仅当所有输入为1时输出1，否则输出0。

应用

应用：条件使能控制（如“同时满足条件A和B时执行操作”）。

2. 或运算（OR）

符号

符号：𝐴+𝐵

真值表

真值表：

A B Y = A OR B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

功能

功能：任意输入为1时输出1，全0时输出0。

应用

应用：多条件触发（如“满足条件A或条件B时报警”）。

3. 非运算（NOT

符号

符号：𝐴‾

真值表

真值表：

A Y = NOT A
0 1
1 0

功能

功能：输入取反。

应用

应用：信号反向控制（如使能信号低电平有效）。

4. 异或运算（XOR）

符号

符号：𝐴⊕𝐵

真值表

真值表：

A B Y = A XOR B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0

功能

功能：输入不同时输出1，否则输出0。

应用

应用：奇偶校验、加法器进位生成。

5. 同或运算（XNOR）

符号

符号：𝐴⊙𝐵

真值表

真值表：

A B Y = A XNOR B
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1

功能

功能：输入相同时输出1，否则输出0。

应用

应用：比较器（判断两数是否相等）。

二、组合逻辑运算

由基本逻辑门组合而成，实现更复杂功能。

1. 与非（NAND）

符号

符号：𝐴⋅𝐵‾

真值表

真值表：

A B Y = NAND(A,B)
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0

特点

特点：通用逻辑门（可通过组合实现任意逻辑功能）。

应用

应用：存储器控制、低功耗电路设计。

2. 或非（NOR）

符号

符号：𝐴+𝐵‾

真值表

真值表：

A B Y = NOR(A,B)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0

特点

特点：同样为通用逻辑门。

应用

应用：时钟生成、触发器设计。
​

3. 三态逻辑（Tri-state）

符号

符号：带使能端（EN）的逻辑门。

功能

功能：
EN=1时，输出正常逻辑值；
EN=0时，输出高阻态（Z），断开连接。

应用

应用：总线共享（如CPU与多设备通信）。

三、逻辑运算的扩展规则

1. 德摩根定律（De Morgan’s Laws）

公式

𝐴⋅𝐵‾=𝐴‾+𝐵‾
𝐴+𝐵‾=𝐴‾⋅𝐵‾

意义

意义：与非门和或非门可相互转换，简化电路设计。

2. 逻辑运算优先级

1. 非运算（NOT）
2. 与运算（AND）
3. 或运算（OR）
4. 异或运算（XOR）

四、逻辑运算的实际应用

1. 加法器（Adder）

半加器

半加器：仅处理单比特加法（无进位输入）。

逻辑表达式

逻辑表达式：
和（Sum） = 𝐴⊕𝐵
进位（Cout） = 𝐴⋅𝐵

全加器

全加器：处理单比特加法（含进位输入）。

逻辑表达式

逻辑表达式：
Sum = 𝐴⊕𝐵⊕𝐶𝑖𝑛
Cout = 𝐴⋅𝐵+(𝐴⊕𝐵)⋅𝐶𝑖𝑛

2. 多路选择器（MUX）

4选1 MUX逻辑表达式：
𝑌=𝑆1‾⋅𝑆0‾⋅𝐷0+𝑆1‾⋅𝑆0⋅𝐷1+𝑆1⋅𝑆0‾⋅𝐷2+𝑆1⋅𝑆0⋅𝐷3

3. 比较器（Comparator）

1位比较器：
相等：𝐴⊙𝐵
大于：𝐴⋅𝐵‾
小于：𝐴‾⋅𝐵

4. 奇偶校验器（Parity Checker）

偶校验生成

偶校验生成：
𝑃=𝐷1⊕𝐷2⊕…⊕𝐷𝑛

奇校验生成

奇校验生成：
𝑃=𝐷1⊕𝐷2⊕…⊕𝐷𝑛‾
​

五、逻辑运算的化简与优化

1. 卡诺图（Karnaugh Map）

功能

功能：通过图形化方法化简逻辑表达式。

示例

示例：将 𝑌=𝐴‾𝐵+𝐴𝐵‾+𝐴𝐵化简为 𝑌=𝐴+𝐵

2. 布尔代数规则

吸收律

吸收律：𝐴+𝐴𝐵=𝐴

冗余律

冗余律：𝐴+𝐴‾𝐵=𝐴+𝐵

分配律

分配律：𝐴(𝐵+𝐶)=𝐴𝐵+𝐴𝐶

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