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【Convex Optimization Stanford】Lec4 CVX-opt-promblem

2025/2/5 19:40:34 来源：https://blog.csdn.net/weixin_55471672/article/details/145391928 浏览: 次关键词：【Convex Optimization Stanford】Lec4 CVX-opt-promblem

【Convex Optimization Stanford】Lec4 CVX-opt-promblem

前言
优化问题的形式
- 全局最优与局部最优
- 隐式约束
- 凸优化的一些问题
- - 可行性问题
  - 凸优化问题
- 一些最优化理论
- - 凸优化问题的最优点
  - 对于可微分函数的最优化判断
  - 等价凸优化问题
- 拟凸优化问题（Quasiconvex problem）
经典算法的凸优化形式
- 线性规划
- 线性分数规划
- 平方规划（如最小二乘）
- 带平方限制条件的平方规划（QCQP）
- 二阶凸锥规划（SOCP）
- 泛化的线性规划
- 几何规划
- 泛化的不等式限制
- 半正定规划（SDP）
- 向量优化
- 最优化与帕累托最优点
- 多指标优化
- 正则化最小二乘
- 带风险反馈的
- 标量化方法求解多标准优化

前言

关于拟凸函数（quasiconvex）和凸函数(convex)的例子：

$f(x)=\sqrt{|x|}, domf=R$
该函数显然不是convex函数，因为起二阶导数小于0，但是其是quasiconvex，因为其任何一个sublevel set都是凸的。

谱半径，一个矩阵的所有特征值的绝对值中，最大的值。

Perron-Frobenius特征值
在这里插入图片描述

优化问题的形式

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全局最优与局部最优

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隐式约束

意思就是包含所有函数的定义域的交集。
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凸优化的一些问题

可行性问题

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凸优化问题

即一个凸优化问题仅有凸的目标函数和凸函数的不等式与线形等式的约束构成。
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一些最优化理论

凸优化问题的最优点

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对于可微分函数的最优化判断

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等价凸优化问题

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拟凸优化问题（Quasiconvex problem）

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经典算法的凸优化形式

线性规划

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线性分数规划

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平方规划（如最小二乘）

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因为目标函数的二阶导数矩阵是半正定的，因此是convex的。

在这里插入图片描述
上图中的 $x^*$ 右边的A上伪逆。

带平方限制条件的平方规划（QCQP）

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二阶凸锥规划（SOCP）

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泛化的线性规划

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上图的方法相当是用椭球体的形式，表达了随机变量 $a_i^T$ 的范围。并最终用其最大偏差来小于b，从而实现确定性。

几何规划

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上述的所有函数，仅需要记住其形式即可。通过如下的转换可以把上述问题转换为凸优化问题的形式，要记住这种转换方式。

泛化的不等式限制

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半正定规划（SDP）

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线性规划/SOCP作为SDP的形式。

向量优化

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最优化与帕累托最优点

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多指标优化

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正则化最小二乘

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带风险反馈的

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标量化方法求解多标准优化

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