【机器学习】机器学习中的逻辑回归算法以及探索Sigmoid函数在逻辑回归中的应用

引言

逻辑回归（Logistic Regression）是一种广泛使用的统计方法，用于描述数据并解释一个或多个自变量与因变量之间的关系。尽管它的名字中包含“回归”，但逻辑回归实际上是一种用于分类问题的方法，特别适用于二分类问题

一、机器学习中的逻辑回归算法

1.1 基本概念

1.1.1 Sigmoid 函数

逻辑回归使用sigmoid函数作为其激活函数，该函数的数学形式如下：
$\sigma (z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$
其中，$z$ 是线性回归方程的输出，即$z={\mathbf{w}}^T\mathbf{x}+b$，$\mathbf{w}$是权重向量，$\mathbf{x}$是特征向量，$b$是偏置项。

1.1.2 概率估计

sigmoid函数的输出可以被解释为样本属于正类（通常标记为1）的概率估计：
$P(y=1|\mathbf{x};\mathbf{w},b)=\sigma ({\mathbf{w}}^T\mathbf{x}+b)$

1.2 模型训练

1.2.1 损失函数

逻辑回归通常使用对数损失（log loss）作为其损失函数，其形式如下：
$L(\mathbf{w},b)=-\frac{1}{N}{\sum }_{i=1}^N[y^{(i)}\log ({\hat{y}}^{(i)})+(1-y^{(i)})\log (1-{\hat{y}}^{(i)})]$
其中，KaTeX parse error: Can't use function '\)' in math mode at position 15: \hat{y}^{(i)} \̲)̲ 是模型对第 \( i \) …是实际的标签

1.2.2 优化算法

为了最小化损失函数，通常使用梯度下降（Gradient Descent）或其变体（如随机梯度下降SGD、Adam等）来更新权重$\mathbf{w}$和偏置$b$

1.3 步骤

1.3.1 初始化参数

随机初始化权重$\mathbf{w}$和偏置$b$

1.3.2 前向传播

计算每个样本的预测值$\hat{y}=\sigma ({\mathbf{w}}^T\mathbf{x}+b)$

1.3.3 计算损失

使用损失函数计算预测值与实际值之间的差异

1.3.4 反向传播

计算损失函数关于模型参数的梯度

1.3.5 更新参数

使用梯度下降法更新权重和偏置

1.3.6 重复步骤2-5，直到收敛

通常设置一个迭代次数或当损失不再显著下降时停止训练

1.4 应用场景

逻辑回归由于其简单、易于理解和实现，在以下场景中得到了广泛应用：

• 广告点击率预测
• 信用评分
• 疾病诊断
• 邮件过滤（垃圾邮件检测）

1.5 注意事项

• 逻辑回归假设特征之间相互独立（朴素贝叶斯假设）
• 对于非线性问题，可能需要使用特征工程或选择其他更复杂的模型
• 逻辑回归容易受到异常值的影响

尽管逻辑回归在机器学习中不是最强大的算法，但它在很多情况下仍然是一个非常有效的工具，特别是在需要解释模型预测的场景中

二、探索Sigmoid函数在逻辑回归中的应用

2.1 导入numpy库和matplotlib.pyplot库

import numpy as np
%matplotlib widget
import matplotlib.pyplot as plt
from plt_one_addpt_onclick import plt_one_addpt_onclick
from lab_utils_common import draw_vthresh
plt.style.use('./deeplearning.mplstyle')

2.2 Sigmoid（逻辑函数）

对于分类任务，我们可以从使用我们的线性回归模型开始，$f_{\mathbf{w},b}({\mathbf{x}}^{(i)})=\mathbf{w}\cdot {\mathbf{x}}^{(i)}+b$，来预测给定$x$的$y$。然而，我们希望分类模型的预测值在0和1之间，因为我们的输出变量$y$要么是0要么是1。这可以通过使用一个Sigmoid函数来实现，该函数将所有输入值映射到0和1之间的值。让我们实现Sigmoid函数，并亲自看看

Sigmoid函数的公式如下：
$$g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}（1）$$

• 在逻辑回归的情况下，$z$（Sigmoid函数的输入）是线性回归模型的输出
• 在单个示例的情况下，$z$是标量
• 在多个示例的情况下，$z$可能是一个由$m$个值组成的向量，每个示例一个值
• Sigmoid函数的实现应该涵盖这两种可能的输入格式。让我们在Python中实现这个函数
  NumPy有一个名为exp()的函数，它提供了一种方便的方法来计算输入数组（z）中所有元素的指数（$e^z$）
  它也可以使用单个数字作为输入，如下所示：

# Input is an array. 
input_array = np.array([1,2,3])
exp_array = np.exp(input_array)print("Input to exp:", input_array)
print("Output of exp:", exp_array)# Input is a single number
input_val = 1  
exp_val = np.exp(input_val)print("Input to exp:", input_val)
print("Output of exp:", exp_val)

输出结果：

Sigmoid函数在Python中的实现如下所示

def sigmoid(z):""" 计算z的Sigmoid值参数:z (ndarray): 一个标量，任意大小的numpy数组。返回:g (ndarray): sigmoid(z)，与z相同的形状"""g = 1/(1+np.exp(-z))return g

让我们看看这个函数在不同$z$值下的输出

# 生成一个在-10和10之间均匀间隔的数组
z_tmp = np.arange(-10,11)
# 使用上面实现的函数来获取Sigmoid值
y = sigmoid(z_tmp)
# 用于漂亮打印两个数组的代码
np.set_printoptions(precision=3) 
print("输入(z), 输出(sigmoid(z))")
print(np.c_[z_tmp, y])

输出结果：

左列的值是$z$，右列的值是$sigmoid(z)$。Sigmoid函数的输入值范围从-10到10，输出值范围从0到1

让我们尝试使用matplotlib库来绘制这个函数

# 绘制z vs sigmoid(z)
fig,ax = plt.subplots(1,1,figsize=(5,3))
ax.plot(z_tmp, y, c="b")ax.set_title("Sigmoid function")
ax.set_ylabel('sigmoid(z)')
ax.set_xlabel('z')
draw_vthresh(ax,0)

输出结果：

当$z$趋向于大的负值时，Sigmoid函数接近于0，当$z$趋向于大的正值时，接近于1

2.3 逻辑回归

逻辑回归模型将Sigmoid函数应用于熟悉的线性回归模型，如下所示：
$$f_{\mathbf{w},b}({\mathbf{x}}^{(i)})=g(\mathbf{w}\cdot {\mathbf{x}}^{(i)}+b)（2）$$
其中
$$g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}（3）$$

让我们将逻辑回归应用于肿瘤分类的类别数据示例

# 加载示例和参数的初始值
x_train = np.array([0., 1, 2, 3, 4, 5])
y_train = np.array([0,  0, 0, 1, 1, 1])
w_in = np.zeros((1))
b_in = 0

尝试以下步骤：

• 点击“运行逻辑回归”以找到给定训练数据的最佳逻辑回归模型
  – 注意结果模型与数据非常吻合
  – 注意，橙色线是$z$或$\mathbf{w}\cdot {\mathbf{x}}^{(i)}+\mathbf{b}$。它与线性回归模型的线不匹配。通过应用阈值进一步改进这些结果
• 勾选“切换0.5阈值”以显示如果应用阈值时的预测
  – 这些预测看起来不错。预测与数据匹配
  – 现在，在大的肿瘤大小范围内（接近10）添加更多的数据点，并重新运行逻辑回归
  – 与线性回归模型不同，这个模型继续做出正确的预测

plt.close('all') 
addpt = plt_one_addpt_onclick( x_train,y_train, w_in, b_in, logistic=True)

输出结果：

2.4 总结

• 探索Sigmoid函数在逻辑回归中的应用