文章目录
- 一. 基本内容与重要结论
- 1. 基础知识
- 1.1. 二次型的概念
- 1.2. 坐标变换与合同
- 1.3. 正定矩阵
- 2. 主要定理
- 1. 变换:二次型总能化成标准型
- 2. 惯性定理:惯性指数唯一确定
- 3. 特征值:二次型与特征值的关系
- 4. 正定:正定的充要和必要条件
- 典型例题
- 1. 二次型的基本概念
- 题型一:求二次型矩阵
- 题型二:坐标变换
- 2. 二次型的标准型、规范形
- 题型一:化标准型的方法
- 正交变换法化标准型****
- 题型一:根据相似性质来取标准型
- 题型二:根据二次型矩阵求标准型矩阵及正交变换
- 题型三:
- 3. 标准型
- 题型一:坐标变换后的惯性指数不变
- 题型二:化二次型为规范型
- 题型:利用特征方程求二次型矩阵****
- 4. 二次型的正定性
- 顺序主子式大于0
- 特征值全部大于0
- 正定的证明
- 5. 矩阵的等价、相似、合同
一. 基本内容与重要结论
1. 基础知识
1.1. 二次型的概念
二次型概念
标准型
规范型
标准型中的正惯性指数
1.2. 坐标变换与合同
坐标变换
矩阵合同
合同来表示二次型?ing
1.3. 正定矩阵
正定矩阵的必要条件是:aii>0。
2. 主要定理
1. 变换:二次型总能化成标准型
定理二:
定理三:
2. 惯性定理:惯性指数唯一确定
3. 特征值:二次型与特征值的关系
定理一:经过正交变换,二次型矩阵不仅合同而且相似
4. 正定:正定的充要和必要条件
典型例题
1. 二次型的基本概念
题型一:求二次型矩阵
- 矩阵相乘
- 改成二次型矩阵
- 由二次型直接看出矩阵每个位置的元素
- 求矩阵=0,求出a。
- 判断秩为2的a。
题型二:坐标变换
- 坐标变换的矩阵,行列式不能=0
- 为什么?
2. 二次型的标准型、规范形
题型一:化标准型的方法
- 凑方法一:将混合乘合并,凑成标准型
- 坐标变换是用y表示x
题型:变换两次
正交变换法化标准型****
题型一:根据相似性质来取标准型
定理:
- 二次型(因为是实对称矩阵)通过坐标变换一定能化成标准型,即对角矩阵与A即相似又合同
- 对角矩阵的主对角线元素=标准型平方项系数
思路一:
- 二次型矩阵与标准型矩阵的对应关系
- 对角相似性质:主对角线之和相等、行列式相等,即能求出未知数a、b
思路二:按照定义来,将标准平方项系数带入,得出未知数。
求λ,得标准型系数
- 根据特征向量求出λ,根据定义带入特征矩阵Ax=λ1x,解出a、b,以及λ1
- 求剩余特征值
- 秩等于2,知道0是特征值,
- 有相似对角化的性质,对角矩阵=矩阵的对角线元素之和,求出最后一个λ
题型二:根据二次型矩阵求标准型矩阵及正交变换
求二次型矩阵的特征值,即正交矩阵。求基础解系(要求单位正交化):对应坐标变换。
转换成坐标变换的y,通过只有平方项来处理最值问题。
题型三:
二次型确定的标准型是唯一的。
都化成标准型,看看标准型是否一致,如果一致,则求出正交变换矩阵。
- 化成标准型:特征值、特征向量、正交化:相互正交(不同特征值,向量一定正交)+单位化
- 求正交变换:因为有相同的标准型,所以有等式,求出从A到B的变换。
3. 标准型
题型一:坐标变换后的惯性指数不变
- 正交变换后,A、B合同,惯性指数不变
- 正交变换->对角矩阵(特征值)->正惯性指数与特征值
求特征值,惯性指数不变讨论a的取值范围。
题型二:化二次型为规范型
- 配方法 ? 具有一定的随机性?
- 正交变换
- 直接求对角矩阵,得标准型
- 标准型变规范型
- 得坐标变换
- 惯性指数不变(两正,一零),令A的特征值的正负性符合惯性指数特性。
- 化标准型:a. 求特征向量,正交、单位化,-> 正交变换。注意施密特正交化的步骤。
题型:利用特征方程求二次型矩阵****
- 利用特征方程求二次型
a. 求特征值
b. 因为是齐次方程组的解,
- 所以有非零解,Aa=0a,有|A|=0,(基础解系有一个:n-r=1)秩=2
- Ax=0,0是特征值。
c. 由A∽对角矩阵: 秩相等=2,所以有λ:2、2、0。
d. 对角矩阵,不同特征值的特征向量正交,设特征向量,求解。
由特征向量求A
- 特征值的特性: A − > k E + A = > λ 1 + k 、 λ 2 + k 、 λ 3 + k A ->kE+A =>λ1+k、λ2+k、λ3+k A−>kE+A=>λ1+k、λ2+k、λ3+k
- (二次型->标准型)惯性指数不变
4. 二次型的正定性
顺序主子式大于0
- 各阶主子式大于0,正定。
- 二次型矩阵,各阶顺序主子式>0
特征值全部大于0
- 有等式得特征值0,2,kA+E的特征值,1,-2k+1,
- 正定特征值大于0。
正定的证明
5. 矩阵的等价、相似、合同
理论:
- 等价:行变换
- 合同:相同惯性指数
- 相似:特征值不相等,不相似。