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似然比统计量

2025/2/25 13:59:16 来源:https://blog.csdn.net/HEHEE1029/article/details/144679271  浏览:    关键词:似然比统计量

内容来源
应用多元统计分析 北京大学出版社 高惠璇编著


最大似然比原理

p p p 元总体密度函数为 f ( x , θ ) f(x,\theta) f(x,θ)

其中 θ \theta θ 是未知参数,且 θ ∈ Θ \theta\in\Theta θΘ(参数空间)

又设 Θ 0 \Theta_0 Θ0 Θ \Theta Θ 的子集

假设检验问题为

H 0 : θ ∈ Θ 0 , H 1 : θ ∉ Θ 0 H_0:\theta\in\Theta_0,\ H_1:\theta\notin\Theta_0 H0:θΘ0, H1:θ/Θ0

X i ( i = 1 , ⋯ , n ) X_i(i=1,\cdots,n) Xi(i=1,,n) 为从总体得到的样本

设样本的联合密度函数

L ( x 1 , ⋯ , x n , θ ) = ∏ i = 1 n f ( x i , θ ) L(x_1,\cdots,x_n,\theta)=\prod^n_{i=1}f(x_i,\theta) L(x1,,xn,θ)=i=1nf(xi,θ)

记为 L ( X , θ ) L(X,\theta) L(X,θ),并称其为样本的似然函数

引入统计量

λ = max ⁡ θ ∈ Θ 0 L ( X , θ ) / max ⁡ θ ∈ Θ L ( X , θ ) \lambda=\max_{\theta\in\Theta_0}L(X,\theta)/ \max_{\theta\in\Theta}L(X,\theta) λ=θΘ0maxL(X,θ)/θΘmaxL(X,θ)

它是样本 X X X 的函数,称其为似然比统计量

由于 Θ 0 ⊂ Θ \Theta_0\subset\Theta Θ0Θ,从而 0 ⩽ λ ⩽ 1 0\leqslant\lambda\leqslant1 0λ1

近似计算

当样本容量 n n n 很大时

− 2 ln ⁡ λ = − 2 ln ⁡ [ max ⁡ θ ∈ Θ 0 L ( X , θ ) / max ⁡ θ ∈ Θ L ( X , θ ) ] -2\ln\lambda=-2\ln\big[\max_{\theta\in\Theta_0}L(X,\theta)/ \max_{\theta\in\Theta}L(X,\theta)\big] 2lnλ=2ln[θΘ0maxL(X,θ)/θΘmaxL(X,θ)]

近似服从自由度为 f f f χ 2 \chi^2 χ2 分布

其中 f = Θ 的维数 − Θ 0 的维数 f=\Theta的维数-\Theta_0的维数 f=Θ的维数Θ0的维数

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