【ORB-SLAM3】鲁棒核函数的阈值设置

问题背景

阈值 $\delta$ 是 Huber 鲁棒核函数的重要参数。首先给出结论，在ORB-SLAM系列中，该阈值选取的原则为：

• 单目情况下，根据95%置信水平下两自由度卡方检验的临界值， $\delta$ 设置为$\sqrt{5.991}$；
• 双目情况下，根据95%置信水平下三自由度卡方检验的临界值， $\delta$ 设置为$\sqrt{7.815}$；

下面详细描述了以这种方式设置Huber损失函数的原因。

Huber鲁棒核函数

使用的Huber鲁棒核函数定义如下：

当误差 $e$ 超过阈值 $\delta$ 时，函数的增长从二次型变为线性型。在构建视觉重投影误差的背景下，我们假设当重投影误差超过某个阈值时，有95%的置信度认为是由于错误匹配导致的离群点，从而以线性的方式添加到代价函数中；否则，以二次函数方式计算误差。通过这样的方式，限制了错误匹配对优化算法的影响。

单目相机分析

接下来，我们首先分析单目相机配置中的重投影误差。令 $\mathbf{u}\in {\mathbb{R}}^2$ 表示图像特征点的二维（2D）像素位置，并令 $\overline{\mathbf{u}}\in {\mathbb{R}}^2$ 表示从三维点 $\mathbf{P}\in {\mathbb{R}}^3$ 重投影到图像上的2D像素位置，则重投影误差 ${\mathbf{e}}_v$ 为：

其中 $(f_x,f_y)$ 是相机焦距，$(c_x,c_y)$是主点，均从标定过程已知。${\Pi }_m(\cdot )$ 是单目相机投影模型。我们假设重投影误差遵循高斯分布：

然后利用协方差对重投影误差进行归一化，得到：

这意味着它遵循二维标准正态分布，因此由其各分量的平方和相加得到的统计量服从自由度为2的卡方分布。

双目相机分析

对于双目配置的情况，我们令观测量为 3 维，即由左相机图像的特征点横纵坐标 + 右相机特征点的横坐标组成（在双目立体相机配置下，左右图像特征点的纵坐标就是相同的）。令 ${\mathbf{u}}_z\in {\mathbb{R}}^3$ 为双目立体相机的特征点观测量，${\overline{\mathbf{u}}}_z\in {\mathbb{R}}^3$ 表示从三维地图点 $\mathbf{P}\in {\mathbb{R}}^3$ 重投影到图像上的像素位置，则重投影误差 ${\mathbf{e}}_v$ 为：

其中 ${\Pi }_s(\cdot )$ 为双目相机投影模型。$(f_x,f_y)$ 是相机焦距，$(c_x,c_y)$是主点，$b$ 是基线长度，均从内参标定中已知。与单目配置情况类似，利用协方差对双目重投影误差进行归一化，其服从三维标准正态分布，因此由其各分量的平方和相加得到的统计量服从自由度为3的卡方分布。