CGS与MGS的矩阵正交化-C语言实现

格拉姆-施密特正交化和改进的格拉姆-施密特正交化

格拉姆-施密特正交化CGS

数学公式

代码实现：

过程版

矩阵运算实现的难点在于每次运算都是一个向量，需要for循环进行，会带来运算时在代码中的复杂，进而难以理解代码的过程

Q矩阵是{e...}  R矩阵是上三角矩阵 
Q[0] = A[0];   // -> b1 = a1
R[0][0] = norm(Q[0], m); //-> ||b1||
Q[0] =A[0] / R[0][0];    //-> b1/||b1||

先求       R[1][2] = dotProduct(A[i], Q[j], m);

再用 Q[2] = A[2]; //这样可以使用迭代去求b2

R[j][i] = dotProduct(A[i], Q[j], m); // -> a2Te1Q[i][k] = A[i][k];   //方便下一般实现循环递归减
Q[i][k] -=  R[j][i]*Q[j][k];   //用于递归实现 bn = an - anTen-1en-1-...R[i][i] = norm(Q[i], m);// -> ||b1||
Q[i][k] /= R[i][i];    //-> b1/||b1||

纯净版

void cgs(double** A, int m, int n, double** Q, double** R) {if (n>=1){R[0][0] = norm(A[0], m);for (int k = 0; k < m; k++) {Q[0][k] =A[0][k]/ R[0][0];}}for (int i = 1; i < n; i++) {for (int j = 0; j < i; j++) {R[j][i] = dotProduct(A[i], Q[j], m);}for (int k = 0; k < m; k++){Q[i][k] = A[i][k];}for (int j = 0; j < i; j++) {for (int k = 0; k < m; k++) {Q[i][k] -=  R[j][i]*Q[j][k];}}R[i][i] = norm(Q[i], m);for (int k = 0; k < m; k++) {Q[i][k] /= R[i][i];}}
}

改进的格拉姆-施密特正交化MGS

数学公式

在于先求e 每次都对全部b进行运算

代码实现

过程版

for (int i = 0; i < m; i++)

{

        Q[i]= A[i];

}

for (int i = 0; i < m; i++)
{for (int j = 0; j < n; j++){Q[i][j] = A[i][j];}
}

R[i][i] = norm(Q[i], m);
for (int k = 0; k < m; k++) {Q[i][k] /= R[i][i];
}

先求     

 R[i][j] = dotProduct(Q[i], Q[j], m);

对每一个b仅需运算 每一个循环都会少计算b1，b2,b3..bn所以j = i+1

 for (int j = i + 1; j < n; j++) {for (int k = 0; k < m; k++) {Q[j][k] -= Q[i][k] * R[i][j];}}

纯净版

void mgs(double** A, int m, int n, double** Q, double** R) {for (int i = 0; i < m; i++){for (int j = 0; j < n; j++){Q[i][j] = A[i][j];}}for (int i = 0; i < n; i++) {R[i][i] = norm(Q[i], m);for (int k = 0; k < m; k++) {Q[i][k] /= R[i][i];}// 计算 R元素 b2Tei b3Tei...  Q[i]=e[i]for (int j = i + 1; j < n; j++) {R[i][j] = dotProduct(Q[i], Q[j], m);}// 更新 Qfor (int j = i + 1; j < n; j++) {for (int k = 0; k < m; k++) {Q[j][k] -= Q[i][k] * R[i][j];}}}
}

参考博客：

下文有博主有python实现

图解格拉姆-施密特正交化和改进的格拉姆-施密特正交化_matlab实现格拉姆-施密特正交化-CSDN博客