数学基础 -- 线性代数之矩阵运算

矩阵运算

矩阵运算是线性代数中的重要部分，常见的矩阵运算包括矩阵加法、矩阵减法、矩阵乘法、矩阵转置、矩阵求逆等。以下是各类矩阵运算的简要说明：

1. 矩阵加法

两个矩阵的加法要求矩阵的维度相同。对应元素相加，得到一个新的矩阵。

• 例如：
  $$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}5& 6\\ 7& 8\end{array}\right)$$
  $$A+B=\left(\begin{array}{cc}1+5& 2+6\\ 3+7& 4+8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 8\\ 10& 12\end{array}\right)$$

2. 矩阵减法

矩阵减法同样要求两个矩阵维度相同，对应元素相减。

• 例如：
  $$A-B=\left(\begin{array}{cc}1-5& 2-6\\ 3-7& 4-8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-4& -4\\ -4& -4\end{array}\right)$$

3. 矩阵乘法

矩阵乘法的条件是，第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相同。乘法运算不是逐元素相乘，而是按照线性代数的定义进行计算。

• 例如：
  $$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 3\end{array}\right)$$
  $$A\times C=\left(\begin{array}{cc}1\times 2+2\times 1& 1\times 0+2\times 3\\ 3\times 2+4\times 1& 3\times 0+4\times 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 6\\ 10& 12\end{array}\right)$$

4. 矩阵转置

矩阵转置是将矩阵的行和列互换。

• 例如：
  $$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$
  $$A^T=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right)$$

5. 矩阵求逆

矩阵求逆是指找到一个矩阵 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$，使得 $A\times A^{-1}=I$，其中 $I$ 是单位矩阵。不是所有矩阵都可以求逆，只有非奇异矩阵（行列式不为零）才有逆矩阵。

• 例如：
  $$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$$
  通过计算得到：
  $$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 1.5& -0.5\end{array}\right)$$

6. 矩阵行列式

矩阵的行列式是一个标量，用于判断矩阵是否可逆。对于 $2\times 2$ 矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$，其行列式为：
$$\text{det}(A)=ad-bc$$
行列式为 0 的矩阵不可逆。