线性代数 第二讲 矩阵_逆矩阵_伴随矩阵_分块矩阵_初等矩阵_矩阵的秩

矩阵

1.矩阵的定义

矩阵是由若干行(列)向量拼成的，这些若干行(列)向量之间可能存在某种关系

注意:矩阵和方阵,只有方阵才有行列式以及之后学习的其他特性，通过A的转置右乘A得到的一定是方阵.

2.矩阵的运算法则

矩阵一般情况下不满足交换律，满足结合率，分配率

3.特殊矩阵

3.1 伴随矩阵

伴随矩阵A^*:
$$\left[\begin{array}{ccc}{A}_{11}& A_{21}& A_{31}\\ A_{12}& A_{22}& A_{32}\\ A_{13}& A_{23}& A_{33}\end{array}\right]以次类推$$

求A^*的方法：

1. 用定义，别丢+ -号，不要排错队
2. A^*=|A|A^-1 ,（通过求逆矩阵和行列式算伴随矩阵）

有关伴随矩阵的公式：

3.2 可逆矩阵

3.2.1 定义

A和B是n阶方阵，E是n阶单位矩阵，AB=E（可推出BA=E)，则称A是可逆矩阵，B是A的逆矩阵。

A的逆矩阵唯一，记做A^-1.

A可逆的充分必要条件是：|A|≠0互推r(A)=n互推A的列向量线性无关互推零不是A的特征值

3.2.2 可逆矩阵的一些定理

定理1:
A是n阶矩阵，如AB=E，则BA=E

该定理有什么用？
当我们证明一个矩阵可逆时，根据定义，不需要证明AB=BA=E了，只证AB=E就行了。
该定理我们要注意什么？
注意是n阶矩阵，是方阵，如果是长方形阵就不一定了。

3.2.3 可逆矩阵公式与转置矩阵公式

3.2.4 求逆矩阵

方法一:利用伴随矩阵，A^-1=1/｜A｜乘上A^*

方法二:利用初等变换，[A:E]初等行变换[E:A逆]

3.3 分块矩阵

思想：问题拆分的思想，比如求一个大矩阵的逆矩阵，我们将这个矩阵分块，然后求小矩阵的逆矩阵，再把它拼接。遇到乘法，逆矩阵考虑分成四块。

3.3.1 分块矩阵的运算

3.3.2 分块矩阵的初等行变换（超纲内容但要了解）

用法和初等矩阵是一样的，引申到分块矩阵

3.4 初等矩阵

定义：单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵

性质

1. 1.左行右列定理，对A进行初等行变换，相当于在它的左边乘上对应的初等矩阵，列变换，相当于右乘
2. 初等矩阵均可逆，且其逆是同类型的初等矩阵

下面给出性质二的使用:
1.把倍数改成相反数
2.两行互换，原封不动
3.某行的k倍，改成倒数
$${\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 2& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -2& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]，{\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]，\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& \frac{1}{2}\end{array}\right]$$

3.5 行阶梯矩阵和行最简矩阵

行阶梯矩阵:若有全零行，全零行全都位于非零行的下方,非零行左起的0的数量，由上到下，严格递增.

行最简矩阵:行阶梯矩阵继续化简，使得满足非零行第一个元素为1，同列其他元素为0

总结:对于任何非0矩阵A，都可以经过有限次初等行变换把它化为行阶梯形矩阵和行最简型矩阵

3.6 等价标准型与等价矩阵

等价标准型：等价标准型是唯一，是把一个矩阵化简到最终，形成一种只有左上部分不是0，其余部分都是0的形式，左上部分的阶数其实就是矩阵的秩

等价矩阵：A矩阵和B矩阵等价的核心就是他们的等价标准型是一样，只不过A和B是不同的过程，由一个最初的过程变成最后等价标准型的中间过程

4.矩阵的秩

求法：求A的秩，就是用初等行变换将A变为初等行阶梯矩阵，其非零行数便是矩阵的秩

秩的一些结论：

1. 1.A为m*n阶矩阵 A的秩≤min{m,n}
2. r(kA)=r(A)
3. r(AB)≤min{r(A),r(B)}
4. 4.r(A+B)≤r(A)+r(B)
5. A为n阶方阵

r(A)=n，它伴随矩阵的秩也等于n
r(A)=n-1，它伴随矩阵的秩也等于1
r(A)≤n，它伴随矩阵的秩也等于0

6. A是m*n阶矩阵，P和Q分别是m阶，n阶可逆矩阵，则r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)
7. 若A_mnB_ns=O(零矩阵)，r(A)+r(B)≤n
8. 8.r(A)=r(A^T）=r（A^TA）=r(AA^T)
9. 若A可逆，r(AB)=r(BA)=r(B)，A可逆看成多个初等矩阵的乘积，初等变换不改变矩阵的秩。
10. 分块矩阵的秩：
    $$r\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right]=r\left(A\right)+r\left(B\right)$$

5.矩阵方程

学习目的：矩阵方程其实就是含有未知矩阵的方程，可以和函数方程对比记忆

矩阵方程形式:
根据左乘右乘，可以初步归纳为3种

6.重难点题型总结

6.1 求n阶矩阵

6.1.1 秩为1的矩阵（了解）

近些年来不考，但要有基本印象。一种求n阶矩阵的思想，中间的矩阵变成数，两头还是矩阵

秩为1的矩阵，顾名思义就是每一行都成比例的矩阵。求秩1矩阵的n阶矩阵，考虑化成两个矩阵相乘的形式，然后多项相乘之后，中间就是1*n的矩阵乘上n*1的矩阵，就变成了一个数，就好找规律了。

直接总结答案：Aⁿ=L^n-1A,其中L是矩阵的迹

6.1.2 对角线及半个三角为0的矩阵（了解）

$$\left[\begin{array}{ccc}0& a& b\\ 0& 0& c\\ 0& 0& 0\end{array}\right]型，特点如下\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 2& 0& 0\\ 1& 3& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 2& 0& 0\\ 1& 3& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 6& 0& 0\end{array}\right]，每次会少一条斜线，{\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 2& 0& 0\\ 1& 3& 0\end{array}\right]}^3=零矩阵$$

给出例题如下:

6.1.3 求n阶矩阵考虑求它相似矩阵的n阶（重要）

该类问题是有很大可能会考察的，核心就是利用求某一个矩阵的n的矩阵，就是求它相似矩阵(一般是对角阵)的n阶矩阵。

证明如下：
P^-1AP=B //相似
(P^-1AP)(P^-1AP)=B²
P^-1A²P=B²//A²和B²相似
推出Aⁿ和Bⁿ相似，B与A相似，B一般是对角矩阵

6.1.4 初等矩阵的n阶矩阵

$${\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ k& 0& 1\end{array}\right]}^n=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ nk& 0& 1\end{array}\right]，\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]，{\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& k\end{array}\right]}^n=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& k^n\end{array}\right]$$

值得说明的情况就一种，交换的情况，分奇偶讨论，奇数不变，偶数变成了单位矩阵，上面给出的就是偶数的情况

6.2 (A+B)^-1类型

命题点：跟｜A+B｜一样没有公式，需要我们通过操作单位矩阵化成乘法计算

给出一道经典的真题：

6.3 求证▢是可逆矩阵

方法一：
根据定义法证明▢是可逆矩阵，▢里可能是A-E这类。
证明▢是可逆矩阵，即证明▢*一个矩阵=E，即可说明▢和一个矩阵都是可逆矩阵。

总结来源:张宇线代基础例2.4

方法二：
证明▢是可逆矩阵，把▢化成多个矩阵的乘积的形式，多个矩阵都可逆，则▢也可逆。题目中会给你多个矩阵可逆的条件。

总结来源:张宇线代基础例2.5

6.4 A^-1的计算(抽象类型)

核心：AA^-1=E
核心方法：凑出A▢=E，▢就是A^-1

具体方法：

1. 如A²-A=0，两边补上2E
2. 化成乘积的形式，然后用交换律和结合率各项相乘，然后再整理。
3. 将E化成类似*类似^-1，然后利用结合律整理

6.5 矩阵方程相关计算

$$例如：存在三阶矩阵A，A\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}z\\ y\\ x\end{array}\right],则A$$

方法一：直接矩阵乘法
写成A的形式，看成两个矩阵相乘的形式，直接写出A

方法二：初等变换矩阵乘法
把A看成多个初等矩阵相乘的形式，使(x,y,z)^T，变换为（z,y,x）^T

总结来源:880线代基础填空题12