【数据结构初阶】二叉树--堆(顺序结构实现)

hello！

一、实现顺序结构二叉树

1.1 堆的概念和结构

1.2 堆及二叉树的性质

1.3 堆的实现

1.3.1 创建堆的结构

1.3.2 初始化和销毁

1.3.3 入堆+向上调整算法（创建一个小堆）

1.3.4 出堆+向下调整算法（小堆）

1.3.5 判空+取堆顶数据+堆中有效数据个数

二、顺序结构二叉树---源码

Heap.h

Heap.c

test.c

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————————————— 《星空物语》 —————————————

正文开始——

一、实现顺序结构二叉树

一般堆使用顺序结构的数组来存储数据，堆是一种特殊的二叉树，分为大根堆（大堆）和小根堆（小堆），具有二叉树的特性的同时，还具备其他的特性。

1.1 堆的概念和结构

如果有一个关键码的集合K={k1，k2,，k3，...，k（n-1）}，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储，在一个一维数组中，并满足：Ki <= K(2*i+1)（Ki >= K(2*i+1) 且 Ki >= K(2*i+2)），i = 0，1，2...，则称为小堆（或大堆）。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

小堆：父结点不大于孩子结点；大堆：父结点不小于孩子结点。

数组不一定是有序地。小堆堆顶是堆的最小值，大堆堆顶是堆的最大值。

1.2 堆及二叉树的性质

堆的性质

堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值；
堆总是一棵完全二叉树。

二叉树的性质

对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号，则对于序号为 i 的结点有：

若 i > 0，i 位置结点的双亲序号：（ i - 1）/ 2；i = 0，i 为根结点编号，无双亲结点；
若 2i + 1 < n，左孩子序号：2i + 1，2i + 1 >= n 则无左孩子；
若 2i + 2 < n，右孩子序号：2i + 2，2i + 2 >= n 则无右孩子；

通俗点来讲，父结点i---> 左孩子：2i+1，右孩子：2i+2。

1.3 堆的实现

1.3.1 创建堆的结构

堆的底层结构是数组

//创建堆的结构
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{HPDataType* arr;int size;//堆中有效数据的个数int capacity;//堆的容量
}HP;

1.3.2 初始化和销毁

//初始化
void HPInit(HP* php)
{assert(php);php->arr = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}//销毁
void HPDestroy(HP* php)
{assert(php);if(php->arr){free(php->arr);php->arr = NULL;}php->size = php->capacity = 0;}

1.3.3 入堆+向上调整算法（创建一个小堆）

将新数据插入到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。

向上调整算法

先将元素插入到堆的末尾，即最后一个子结点之后；
插入之后如果堆的性质遭到破坏，将新插入结点顺着双亲结点往上调整到合适位置即可。

【举例，向上调整算法】

思路：新插入的数据作为子结点（child），找到新插入数据的父结点（parent=（child-1）/ 2）（上面二叉树的性质），父结点和子结点进行比较，若父结点大于子结点，数据交换，不大于则不交换。再找新的父结点和子结点，循环条件是 child>0，child不需要等于0，child等于0时为根结点，根结点没有父结点不需要发生交换。

void Swap(int* x, int* y)
{int tmp = *x;*x = *y;*y = tmp;
}//向上调整算法
void AdjustUp(HPDataType* arr, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0){if (arr[child] < arr[parent]){Swap(&arr[child], &arr[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}//入堆
void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{assert(php);//判断空间是否充足if (php->size == php->capacity){int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->arr, newCapacity * sizeof(HPDataType));if (tmp == NULL){perror("realloc file!");exit(1);}php->arr = tmp;php->capacity = newCapacity;}//此时空间已经充足//我们应该清楚地知道，size是x的下标，size在数组中指向x这个元素php->arr[php->size] = x;//向上调整算法AdjustUp(php->arr, php->size);php->size++;
}

1.3.4 出堆+向下调整算法（小堆）

堆的删除（出堆）

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据跟最后一个数据进行交换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。

向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能进行调整。

出堆

将堆顶元素与堆中最后一个元素进行交换；
删除堆中最后一个元素；
将堆顶元素向下调整到满足堆特性为止。

【向下调整算法】

思路：堆顶元素为父结点，找到左右孩子中最小的那个子结点与之比较，若父结点大于子结点，交换，不大于则不交换，不断找新的父结点和子结点，就这样循环，注意循环结束的条件。上代码，结合代码中的注释更好的理解。

//向下调整算法
void AdjustDown(HPDataType* arr, int parent, int n)
{int child = parent * 2 + 1;//左孩子while (child < n){//找左右孩子中最小的//child + 1 < n , 保证不越界if (child + 1 < n && arr[child] > arr[child + 1]){child++;}if (arr[parent] > arr[child]){Swap(&arr[child], &arr[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}//出堆
void HPPop(HP* php)
{assert(php && php->size);Swap(&php->arr[0], &php->arr[php->size-1]);php->size--;//删除掉最后一个数据(堆顶元素)//向下调整算法AdjustDown(php->arr, 0, php->size);}

1.3.5 判空+取堆顶数据+堆中有效数据个数

//判空
bool HPEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}//取堆顶数据
HPDataType HPTop(HP* php)
{assert(php && php->size);return php->arr[0];
}//堆中有效数据的个数
int HPSize(HP* php)
{assert(php);return php->size;
}

二、顺序结构二叉树---源码

Heap.h

#pragma once
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>
#include<assert.h>//创建堆的结构
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{HPDataType* arr;int size;//堆中有效数据个数int capacity;//堆的容量
}HP;//初始化
void HPInit(HP* php);//销毁
void HPDestroy(HP* php);//入堆
void HPPush(HP* php, HPDataType x);//出堆
void HPPop(HP* php);//判空
bool HPEmpty(HP* php);//取堆顶数据
HPDataType HPTop(HP* php);//堆中有效数据的个数
int HPSize(HP* php);

Heap.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"Heap.h"//初始化
void HPInit(HP* php)
{assert(php);php->arr = NULL;php->size = php->capacity = 0;
}//销毁
void HPDestroy(HP* php)
{assert(php);if (php->arr){free(php->arr);php->arr = NULL;}
}void Swap(int* x, int* y)
{int tmp = *x;*x = *y;*y = tmp;
}//向上调整算法
void AdjustUp(HPDataType* arr, int child)
{int parent = (child - 1) / 2;while (child > 0)//不需要等于0，child等于0时为根结点，根结点没有父结点不需要发生交换{if (arr[child] < arr[parent]){Swap(&arr[child], &arr[parent]);child = parent;parent = (child - 1) / 2;}else{break;}}
}//入堆
void HPPush(HP* php,HPDataType x)
{assert(php);//判断空间是否充足if (php->size == php->capacity){int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->arr, newCapacity * sizeof(HPDataType));if (tmp == NULL){perror("realloc file!");exit(1);}php->arr = tmp;php->capacity = newCapacity;}//此时空间已经充足php->arr[php->size] = x;//向上调整算法AdjustUp(php->arr, php->size);php->size++;}//向下调整算法
void AdjustDown(HPDataType* arr, int parent, int n)
{int child = parent * 2 + 1;//左孩子while (child < n){//找左右孩子中最小的if (child + 1 < n && arr[child] > arr[child + 1]){child++;}if (arr[parent] > arr[child]){Swap(&arr[child], &arr[parent]);parent = child;child = parent * 2 + 1;}else{break;}}
}//出堆
void HPPop(HP* php)
{assert(php && php->size);Swap(&php->arr[0], &php->arr[php->size-1]);php->size--;//向下调整算法AdjustDown(php->arr, 0, php->size);}//判空
bool HPEmpty(HP* php)
{assert(php);return php->size == 0;
}//取堆顶数据
HPDataType HPTop(HP* php)
{assert(php && php->size);return php->arr[0];
}//堆中有效数据的个数
int HPSize(HP* php)
{assert(php);return php->size;
}

test.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"Heap.h"void test01()
{HP hp;HPInit(&hp);int arr[] = { 1,3,5,7,4,10,8 };for (int i = 0; i < 7; i++){HPPush(&hp, arr[i]);}printf("堆中有效数据个数：%d\n", HPSize(&hp));while (!HPEmpty(&hp)){printf("%d ", HPTop(&hp));HPPop(&hp);}HPDestroy(&hp);}int main()
{test01();return 0;
}

完——