引言
自适应滤波器在信号处理领域具有重要应用，包括系统辨识、噪声消除和信道均衡等。递归最小二乘（RLS）算法因其快速收敛特性成为经典自适应算法之一。本文详细介绍RLS算法原理，并给出Matlab实现示例。
一、RLS算法原理
1.1 算法核心思想
RLS算法通过最小化加权误差平方和来更新滤波器系数：
其中λ为遗忘因子（0 < λ ≤ 1），e(n)为瞬时误差。
1.2 关键递推公式
其中：
-
w(n)为滤波器系数向量
-
u(n)为输入信号向量
-
P(n)为输入信号逆相关矩阵
-
k(n)为增益向量
二、RLS算法实现步骤
-
初始化滤波器系数w(0)和P(0)
-
对每个时刻n：
a. 采集新输入u(n)和期望信号d(n)
b. 计算先验误差：e(n)=d(n)−wH(n−1)u(n)
c. 更新增益向量k(n)
d. 更新滤波器系数w(n)
e. 更新逆相关矩阵P(n)
三、Matlab实现示例
% RLS自适应滤波器设计（正弦信号加噪声）% 设置参数
N = 1000; % 输入信号长度
M = 30; % 滤波器的阶数
lambda = 0.99; % 衰减因子
delta = 1e-3; % 初始协方差矩阵对角线元素
f = 0.05; % 正弦信号的频率
SNR = 10; % 信噪比（dB）% 生成正弦信号
t = (0:N-1)'; % 时间向量
x_sine = sin(2 * pi * f * t); % 正弦信号% 添加噪声
noise = randn(N, 1); % 高斯噪声
x = x_sine + noise / norm(noise) * norm(x_sine) / 10^(SNR / 20); % 按照指定信噪比添加噪声% 期望信号（设定为理想正弦信号，模拟滤波目标）
d = x_sine;% 初始化RLS算法
w = zeros(M, 1); % 滤波器系数初始值
P = delta * eye(M); % 协方差矩阵初始化
y = zeros(N, 1); % 滤波器输出
e = zeros(N, 1); % 误差信号% RLS算法
for n = M:N% 获取当前输入信号窗口x_n = x(n:-1:n-M+1); % 长度为M的输入信号窗口% 计算滤波器输出y(n) = w' * x_n;% 计算误差e(n) = d(n) - y(n);% 计算增益向量k = P * x_n / (lambda + x_n' * P * x_n);% 更新滤波器系数w = w + k * e(n);% 更新协方差矩阵P = (P - k * x_n' * P) / lambda;
end% 绘制结果
figure;% 原始信号和加噪声信号对比
subplot(3, 1, 1);
plot(t, x_sine, 'b'); hold on;
plot(t, x, 'r');
title('原始信号与加噪声信号对比');
legend('原始信号', '加噪声信号');
xlabel('时间');
ylabel('幅值');% 原始信号和滤波后信号对比
subplot(3, 1, 2);
plot(t, x_sine, 'g'); hold on;
plot(t, y, 'r');
title('原始信号与滤波后信号对比');
legend('原始信号', '滤波后信号');
xlabel('时间');
ylabel('幅值');% 误差曲线
subplot(3, 1, 3);
plot(t, e);
title('滤波器误差信号');
xlabel('时间');
ylabel('误差');
- 第一幅图展示了加噪声后的信号和原始信号之间的差异。
- 第二幅图展示了RLS滤波器去噪后得到的信号与原始信号的对比，能够看到滤波器如何去除噪声。
- 第三幅图是误差信号，反映了RLS滤波器的性能，误差值越小，滤波器效果越好。
)
