高等代数笔记—线性变换

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线性变换

线性空间$V$到自身的映射称为$V$的一个变换，最基本的是线性变换。
定义：变换$\mathcal{A}:V\to V$，如果$\forall \alpha ,\beta \in V$，$\forall k\in F$都有：
$\mathcal{A}(\alpha +\beta )=\mathcal{A}(\alpha )+\mathcal{A}(\beta ),$
$\mathcal{A}(k\alpha )=k\mathcal{A}(\alpha ),$
则$\mathcal{A}$为线性变换。

线性变换举例：
1、平面绕原点旋转$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]$
2、空间绕轴旋转
3、几何空间中的内射影${\Pi }_{\alpha }(\zeta )=\frac{(\alpha ,\zeta )}{(\alpha ,\alpha )}\alpha$
4、线性空间中的恒等变换、零变换、数乘变换
5、$F[x]$中求微商（求导）
6、$\mathcal{A}(f(x))={\int }_a^{x}f(t)dt,f(x)\in C[a,b]$

恒等变换（单位变换）：$\mathcal{E}(\alpha )=\alpha ,\alpha \in V$
零变换：$\mathcal{O}(\alpha )=0,\alpha \in V$

$\mathcal{A}(0)=0$
$\mathcal{A}+\mathcal{O}=\mathcal{A}$
$\mathcal{A}(-\alpha )=\alpha$
若$\beta ={\Sigma }_i{k}_i{\alpha }_i$，则$\mathcal{A}(\beta )={\Sigma }_i{k}_i\mathcal{A}({\alpha }_i)$
$\mathcal{AB}(\alpha )=\mathcal{A}(\mathcal{B}(\alpha ))$
$\mathcal{ABL}=\mathcal{A}(\mathcal{BL})$
$\mathcal{A}(\alpha )+\mathcal{B}(\alpha )=(\mathcal{A}+\mathcal{B})(\alpha )$
$\mathcal{A}+(\mathcal{B}+\mathcal{L})=(\mathcal{A}+\mathcal{B})+\mathcal{L}$
$\mathcal{A}+\mathcal{B}=\mathcal{B}+\mathcal{A}$
$(\mathcal{A}+\mathcal{B})\mathcal{L}=\mathcal{AL}+\mathcal{BL}$
$\mathcal{L}(\mathcal{A}+\mathcal{B})=\mathcal{LA}+\mathcal{LB}$
一般不存在$\mathcal{AB}=\mathcal{BA}=\mathcal{E}$
其中，$\alpha ,\beta ,{\alpha }_i\in V$，$\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{L}$是$V$的线性变换

线性变换的乘积、逆变换仍为线性变换（假如逆变换存在的话）

${\mathcal{A}}^0=\mathcal{E}$
${\mathcal{A}}^{m+n}={\mathcal{A}}^m+{\mathcal{A}}^n$
$({\mathcal{A}}^m{)}^n={\mathcal{A}}^{mn}$
一般不存在$(\mathcal{AB}{)}^n\ne {\mathcal{A}}^n{\mathcal{B}}^n$
$f(\mathcal{A})g(\mathcal{B})=g(\mathcal{B})f(\mathcal{A})$
其中，$m,n\ge 0$，$f(x),g(x)\in P[x]$

向量$\zeta$在以向量$\alpha$为法向量的平面$x$上的内射影为${\Pi }_x(\zeta )$，则${\Pi }_x(\zeta )=\zeta -{\Pi }_{\alpha }(\zeta )$，进一步可得到${\Pi }_x=\mathcal{E}-{\Pi }_{\alpha }$

$\mathcal{A}({ϵ}_1,...,{ϵ}_n)=(\mathcal{A}{ϵ}_1,...,\mathcal{A}{ϵ}_n)=({ϵ}_1,...,{ϵ}_n)A$
其中，${ϵ}_1,...,{ϵ}_n$是$V$的一组基，$A$是一个$n\times n$矩阵。
定理：${ϵ}_1,...,{ϵ}_n$是数域$F$上$n$维线性空间$V$的一组基，在这组基下，每个线性变换对应一个$n\times n$矩阵，这个对应有如下性质：
1、线性变换的和对应矩阵的和
2、线性变换的乘积对应于矩阵的乘积
3、线性变换的数乘对应矩阵的数乘
4、可逆的线性变换与可逆矩阵对应，逆变换对应逆矩阵

由第四条得出恒等变换对应单位矩阵。

$\mathcal{A}$在基${ϵ}_1,...,{ϵ}_n$下的矩阵为$A$，向量$\zeta$在基${ϵ}_1,...,{ϵ}_n$下的坐标为$x_1,...,x_n$。则$\mathcal{A}\zeta$在基${ϵ}_1,...,{ϵ}_n$下的坐标$y_1,...,y_n$与$\zeta$的坐标有何关系？
向量由基线性表示：
$\zeta =({ϵ}_1,...,{ϵ}_n)(x_1,...,x_n{)}^T$ 式1
$\mathcal{A}\zeta =({ϵ}_1,...,{ϵ}_n)(y_1,...,y_n{)}^T$ 式2
将$\mathcal{A}({ϵ}_1,...,{ϵ}_n)=({ϵ}_1,...,{ϵ}_n)A$代入式1得到：
$\mathcal{A}\zeta =(\mathcal{A}{ϵ}_1,...,\mathcal{A}{ϵ}_n)(x_1,...,x_n{)}^T=({ϵ}_1,...,{ϵ}_n)A(x_1,...,x_n{)}^T$ 式3
由于基线性无关，所以有：
$(y_1,...,y_n{)}^T=A(x_1,...,x_n{)}^T$

${ϵ}_1,...,{ϵ}_m$是$n(n>m)$维线性空间$V$的子空间$W$的一组基，把它扩充为$V$的一组基${ϵ}_1,...,{ϵ}_n$，定义如下线性变换：
$\mathcal{A}{ϵ}_i={ϵ}_i,i=1,...,m$
$\mathcal{A}{ϵ}_i=0,i=m+1,...,n$
则$\mathcal{A}$称为对$W$的一个投影，并有${\mathcal{A}}^2=\mathcal{A}$，$\mathcal{A}$在基${ϵ}_1,...,{ϵ}_m$下对应的矩阵为一个$n\times n$对角矩阵，对角线上前$m$个元素为1，后$n-m$个元素为0。

定理：线性变换$\mathcal{A}$在两组基下的矩阵为$A,B$，则有$B=X^{-1}AX$，$X$称为过渡矩阵
定义：若$B=X^{-1}AX$，则$A\sim B$

定义：$\mathcal{A}$是数域$F$上的线性空间$V$的一个线性变换，如果对于$\lambda \in F$，存在$\zeta \in V,\zeta \ne 0$使得$\mathcal{A}\zeta =\lambda \zeta$，则$\lambda ,\zeta$为$\mathcal{A}$的一对特征值与特征向量。

若$\mathcal{A}$对应矩阵$A$，则由$|\lambda E-A|=0$求解特征值。
$|\lambda E-A|$称为$A$的特征多项式，是数域$F$上的$n$次多项式。

举例：
在$F[x{]}_n$中，求导$\mathcal{D}$是一个线性变换，在基$1,x,\frac{x^2}{2!},...,\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}$下的矩阵是$D=\left[\begin{array}{cc}{0}_{1\times (n-1)}& diag(1,1,...,1)\\ 0_{1\times 1}& 0_{(n-1)\times 1}\end{array}\right]$
由$|\lambda E-D|=0$解出$\lambda =0$（$n$重根）。
将$\lambda =0$代入齐次线性方程组$(\lambda E-D)(x_1,...,x_n{)}^T=(0,...,0{)}^T$，得到基础解系$(1,0,...,0{)}^T$，则属于$\lambda =0$的特征向量为$k$，即特征向量为任意常数。
（$\mathcal{D}f(x)=\lambda f(x)$，因为$\lambda =0$，所以$\mathcal{D}f(x)=0$，则$f(x)=k$）

$\mathcal{A}$的一个特征子空间$V_{{\lambda }_0}$是指满足$\mathcal{A}\alpha ={\lambda }_0\alpha$的所有向量构成的集合（属于${\lambda }_0$的所有特征向量以及零向量），其中${\lambda }_0$是$\mathcal{A}$的一个特征值。
V λ 0 = { α ∣ A α = λ 0 α , α ∈ V } V_{\lambda_0} = \set{\alpha | \mathscr{A} \alpha = \lambda_0 \alpha, \alpha \in V} Vλ0​​={α∣Aα=λ0​α,α∈V}

$|\lambda E-A|$的前两项与常数项为${\lambda }^n,-(trA){\lambda }^{n-1},(-1{)}^n|A|$，由韦达定理得出$A$的全体特征值之和为$trA$，$A$的全体特征值之积为$|A|$。
证明：特征值之和等于迹，特征值之积等于行列式 - 蒋蒋蒋的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/649770264

哈密顿-凯莱定理：$f(\lambda )=|\lambda E-A|$，则$f(A)=A^n-(trA)A^{n-1}+...+(-1{)}^n|A|E=0$
推论：$f(\mathcal{A})=\mathcal{O}$

不变子空间：
$\mathcal{A}$是数域$F$上的线性空间$V$的线性变换，$W$是$V$的子空间，如果$W$中的像在$\mathcal{A}$下的像仍在$W$中，则称$W$是$\mathcal{A}$的不变子空间，简称$\mathcal{A}$—子空间。
$\forall \xi \in W,\mathcal{A}\xi \in W$

不变子空间举例：$V$， { 0 } \set{0} {0}，$\mathcal{A}$的值域，$\mathcal{A}$的核，$V_{{\lambda }_0}$。

$\mathcal{A}$的值域为 { A ξ ∣ ξ ∈ V } \set{\mathscr{A}\xi | \xi \in V} {Aξ∣ξ∈V}
$\mathcal{A}$的核为 { ξ ∣ A ξ = 0 , ξ ∈ V } \set{\xi | \mathscr{A}\xi = 0, \xi \in V} {ξ∣Aξ=0,ξ∈V}
值域的维数称为秩，核的维数称为零度。
线性变换的值域与核 - 豆瓜爱数学的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/153467121