3. 函数极限与连续函数
3.4 闭区间上的连续函数
3.4.4 中间值定理
【定理3.4.4】若 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上连续，则它一定能取到最大值 M M M与最小值 m m m之间的任何一个值。 M = max f ( x ) , x ∈ [ a , b ] , m = min f ( x ) , x ∈ [ a , b ] M=\max f(x),x\in [a,b],m=\min f(x),x\in[a,b] M=maxf(x),x∈[a,b],m=minf(x),x∈[a,b].
【证】由最值定理， ∃ ξ , η ∈ [ a , b ] , f ( ξ ) = m , f ( η ) = M \exists \xi ,\eta \in [a,b],f(\xi)=m,f(\eta)=M ∃ξ,η∈[a,b],f(ξ)=m,f(η)=M，不妨设 ξ < η , ∀ c ∈ [ m , M ] \xi < \eta,\forall c\in[m,M] ξ<η,∀c∈[m,M]，令 g ( x ) = f ( x ) − c g(x)=f(x)-c g(x)=f(x)−c
g ( ξ ) = f ( ξ ) − c = m − c < 0 g(\xi)=f(\xi)-c=m-c<0 g(ξ)=f(ξ)−c=m−c<0
g ( η ) = f ( η ) − c = M − c > 0 g(\eta)=f(\eta)-c=M-c>0 g(η)=f(η)−c=M−c>0
g ( x ) g(x) g(x)在 [ ξ , η ] ⊂ [ a , b ] [\xi,\eta]\subset[a,b] [ξ,η]⊂[a,b]上连续
则由零点存在定理， ∃ ζ ∈ [ ξ , η ] ⊂ [ a , b ] \exists \zeta \in[\xi ,\eta]\subset[a,b] ∃ζ∈[ξ,η]⊂[a,b]，使得 g ( ζ ) = 0 g(\zeta)=0 g(ζ)=0
即 f ( ζ ) = c f(\zeta)=c f(ζ)=c
【注】此定理在反函数连续性定理中出现过：若 f ( x ) f(x) f(x)在 [ a , b ] [a,b] [a,b]上严格单调增加且连续， f ( a ) = α , f ( b ) = β f(a)=\alpha,f(b)=\beta f(a)=α,f(b)=β，则反函数 f − 1 f^{-1} f−1是在 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]上连续，在讲这个定理的时候证明了 f f f的值域是 [ α , β ] [\alpha,\beta] [α,β]，如果证明过中间值定理，前面一步证明值域的就用中间值定理。
3.4.5 一致性连续
设 X \textbf{X} X是某一区间（可以是开区间，闭区间，半开半闭区间，有限无限区间）， f ( x ) f(x) f(x)在 X \textbf{X} X上连续：是指 f ( x ) f(x) f(x)在 X \textbf{X} X上每一点都连续（在端点指右连续或左连续）， ∀ x 0 ∈ X , ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 , ∀ x ∈ X ( ∣ x − x 0 ∣ < δ ) : ∣ f ( x ) − f ( x 0 ) ∣ < ε \forall x_{0}\in\textbf{X},\forall \varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x\in\textbf{X}(|x-x_{0}|<\delta):|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon ∀x0∈X,∀ε>0,∃δ>0,∀x∈X(∣x−x0∣<δ):∣f(x)−f(x0)∣<ε
δ \delta δ与 ε \varepsilon ε有关也与 x 0 x_{0} x0有关，即 δ = δ ( x 0 , ε ) \delta = \delta(x_{0},\varepsilon) δ=δ(x0,ε)，能否找到 ∀ x 0 \forall x_{0} ∀x0适用的 δ \delta δ？
若能找到这样的 δ > 0 \delta>0 δ>0，则有 ∀ ε > 0 , ∃ δ = δ ( ε ) > 0 , ∀ x ′ , x ′ ′ ∈ X ( ∣ x ′ − x ′ ′ ∣ < δ ) : ∣ f ( x ′ ) − f ( x ′ ′ ) ∣ < ε \forall \varepsilon>0,\exists \delta=\delta(\varepsilon)>0, \forall x',x''\in\textbf{X}(|x'-x''|<\delta):|f(x')-f(x'')|<\varepsilon ∀ε>0,∃δ=δ(ε)>0,∀x′,x′′∈X(∣x′−x′′∣<δ):∣f(x′)−f(x′′)∣<ε
问题：这样的 δ ( ε ) \delta(\varepsilon) δ(ε)是否一定能找到？
答：不一定。
令所有适用的 δ ( x 0 , ε ) \delta(x_{0},\varepsilon) δ(x0,ε)中的最大者，（或上确界）为 δ ∗ ( x 0 , ε ) \delta^{*}(x_{0},\varepsilon) δ∗(x0,ε)
存在 δ ( ε ) > 0 ⇔ inf x 0 ∈ X δ ∗ ( x 0 , ε ) > 0 \delta(\varepsilon)>0\Leftrightarrow\inf\limits_{x_{0}\in\textbf{X} }\delta^{*}(x_{0},\varepsilon)>0 δ(ε)>0⇔x0∈Xinfδ∗(x0,ε)>0（因为可能下确界是0）
教材描述的比较详细：
【定义3.4.1】设 f ( x ) f(x) f(x)在区间 X \textbf{X} X上定义，若对于任意给定的 ε > 0 , ∃ δ > 0 , ∀ x ′ , x ′ ′ ∈ X ( ∣ x ′ − x ′ ′ ∣ < δ ) : ∣ f ( x ′ ) − f ( x ′ ′ ) ∣ < ε \varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x',x''\in\textbf{X}(|x'-x''|<\delta):|f(x')-f(x'')|<\varepsilon ε>0,∃δ>0,∀x′,x′′∈X(∣x′−x′′∣<δ):∣f(x′)−f(x′′)∣<ε，则 f ( x ) f(x) f(x)在区间 X \textbf{X} X上一致连续。（此处可结合宋浩老师的视频）
- f ( x ) f(x) f(x)在 X \textbf{X} X上一致连续 ⇒ f ( x ) \Rightarrow f(x) ⇒f(x)在 X \textbf{X} X上连续（反过来不一定）
【例3.4.3】证明： y = sin x y=\sin x y=sinx在 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞)上一致连续。
【证】 ∣ sin x ′ − sin x ′ ′ ∣ = 2 ∣ cos x ′ + x ′ ′ 2 sin x ′ − x ′ ′ 2 ∣ ≤ 2 ⋅ 1 ∣ x ′ − x ′ ′ 2 ∣ = ∣ x ′ − x ′ ′ ∣ |\sin x' - \sin x''|=2|\cos\frac{x'+x''}{2}\sin\frac{x'-x''}{2}|\le 2\cdot 1|\frac{x'-x''}{2}|=|x'-x''| ∣sinx′−sinx′′∣=2∣cos2x′+x′′sin2x′−x′′∣≤2⋅1∣2x′−x′′∣=∣x′−x′′∣
∀ ε > 0 \forall \varepsilon>0 ∀ε>0取 δ = ε , ∀ x ′ , x ′ ′ ( ∣ x ′ − x ′ ′ ∣ < δ ) : ∣ sin x ′ − sin x ′ ′ ∣ ≤ ∣ x ′ − x ′ ′ ∣ < ε \delta = \varepsilon,\forall x',x''(|x'-x''|<\delta):|\sin x' - \sin x''|\le |x'-x''|<\varepsilon δ=ε,∀x′,x′′(∣x′−x′′∣<δ):∣sinx′−sinx′′∣≤∣x′−x′′∣<ε
则 y = sin x y=\sin x y=sinx在 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞)上一致连续。
【例3.4.4】证明： f ( x ) = 1 x , x ∈ ( 0 , 1 ) f(x)=\frac{1}{x},x\in(0,1) f(x)=x1,x∈(0,1)非一致连续。
【证】设 x 0 ∈ ( 0 , 1 ) , ∀ ε > 0 x_{0}\in(0,1),\forall \varepsilon>0 x0∈(0,1),∀ε>0
∣ 1 x − 1 x 0 ∣ < ε |\frac{1}{x}-\frac{1}{x_{0}}|<\varepsilon ∣x1−x01∣<ε
即 − ε + 1 x 0 < 1 x < ε + 1 x 0 -\varepsilon+\frac{1}{x_{0}}<\frac{1}{x}<\varepsilon+\frac{1}{x_{0}} −ε+x01<x1<ε+x01
亦即 x 0 1 + x 0 ε < x < x 0 1 − x 0 ε \frac{x_{0}}{1+x_{0}\varepsilon}<x<\frac{x_{0}}{1-x_{0}\varepsilon} 1+x0εx0<x<1−x0εx0
亦即 − x 0 2 ε 1 + x 0 ε < x − x 0 < x 0 2 ε 1 − x 0 ε -\frac{x_{0}^{2}\varepsilon}{1+x_{0}\varepsilon}<x-x_{0}<\frac{x_{0}^{2}\varepsilon}{1-x_{0}\varepsilon} −1+x0εx02ε<x−x0<1−x0εx02ε
要保证 ∣ x − x 0 ∣ < δ |x-x_{0}|<\delta ∣x−x0∣<δ，则
δ ∗ ( x 0 , ε ) = min { x 0 2 ε 1 + x 0 ε , x 0 2 ε 1 − x 0 ε } = x 0 2 ε 1 + x 0 ε \delta^{*}(x_0,\varepsilon)=\min\{\frac{x_{0}^{2}\varepsilon}{1+x_{0}\varepsilon},\frac{x_{0}^{2}\varepsilon}{1-x_{0}\varepsilon}\}=\frac{x_{0}^{2}\varepsilon}{1+x_{0}\varepsilon} δ∗(x0,ε)=min{1+x0εx02ε,1−x0εx02ε}=1+x0εx02ε
inf x 0 ∈ ( 0 , 1 ) x 0 2 ε 1 + x 0 ε = 0 \inf\limits_{x_{0}\in(0,1)}\frac{x_{0}^{2}\varepsilon}{1+x_{0}\varepsilon}=0 x0∈(0,1)inf1+x0εx02ε=0（当 x 0 x_{0} x0很靠近0的时候，趋于0）
即不能找到与 x 0 x_{0} x0无关的 δ ( ε ) > 0 \delta(\varepsilon)>0 δ(ε)>0
即 f ( x ) = 1 x , x ∈ ( 0 , 1 ) f(x)=\frac{1}{x},x\in(0,1) f(x)=x1,x∈(0,1)非一致连续。
【注】如果函数形式再复杂一些，这个方法做很难做。
【定理3.4.5】设 f ( x ) f(x) f(x)在区间 X \textbf{X} X上定义，则 f ( x ) f(x) f(x)在 X \textbf{X} X上一致连续的充要条件是：对任意给定的 x n ′ , x n ′ ′ x_{n}',x_{n}'' xn′,xn′′，只要 lim n → ∞ ( x n ′ − x n ′ ′ ) = 0 \lim\limits_{n\to\infty}(x_{n}'-x_{n}'')=0 n→∞lim(xn′−xn′′)=0，则 lim n → ∞ ( f ( x n ′ ) − f ( x n ′ ′ ) ) = 0 \lim\limits_{n\to\infty}(f(x_{n}')-f(x_{n}''))=0 n→∞lim(f(xn′)−f(xn′′))=0
【证】先证必要性，由 f ( x ) f(x) f(x)在 X \textbf{X} X上一致连续可知， ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 , ∀ x ′ , x ′ ′ ∈ X ( ∣ x ′ − x ′ ′ ∣ < δ ) : ∣ f ( x ′ ) − f ( x ′ ′ ) ∣ < δ \forall\varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x',x''\in\textbf{X}(|x'-x''|<\delta):|f(x')-f(x'')|<\delta ∀ε>0,∃δ>0,∀x′,x′′∈X(∣x′−x′′∣<δ):∣f(x′)−f(x′′)∣<δ
由 lim n → ∞ ( x n ′ − x n ′ ′ ) = 0 \lim\limits_{n\to\infty}(x_{n}'-x_{n}'')=0 n→∞lim(xn′−xn′′)=0，则上述 δ > 0 , ∃ N , ∀ n > N : ∣ x n ′ − x n ′ ′ ∣ < δ \delta>0,\exists N,\forall n>N:|x_{n}'-x_{n}''|<\delta δ>0,∃N,∀n>N:∣xn′−xn′′∣<δ
则 ∣ f ( x n ′ ) − f ( x n ′ ′ ) − 0 ∣ = ∣ f ( x n ′ ) − f ( x n ′ ′ ) ∣ < ε |f(x_{n}')-f(x_{n}'')-0|=|f(x_{n}')-f(x_{n}'')|<\varepsilon ∣f(xn′)−f(xn′′)−0∣=∣f(xn′)−f(xn′′)∣<ε
即 lim n → ∞ ( f ( x n ′ ) − f ( x n ′ ′ ) ) = 0 \lim\limits_{n\to\infty}(f(x_{n}')-f(x_{n}''))=0 n→∞lim(f(xn′)−f(xn′′))=0
再证充分性，用逆否命题，即证：若 f ( x ) f(x) f(x)在 X \textbf{X} X上非一致连续，则可找到 { x n ′ } , { x n ′ ′ } , x n ′ , x n ′ ′ ∈ X , lim n → ∞ ( x n ′ − x n ′ ′ ) = 0 \{x_{n}'\},\{x_{n}''\},x_{n}',x_{n}''\in\textbf{X},\lim\limits_{n\to\infty}(x_{n}'-x_{n}'')=0 {xn′},{xn′′},xn′,xn′′∈X,n→∞lim(xn′−xn′′)=0，但 lim n → ∞ ( f ( x n ′ ) − f ( x n ′ ′ ) ) ≠ 0 \lim\limits_{n\to\infty}(f(x_{n}')-f(x_{n}''))\ne0 n→∞lim(f(xn′)−f(xn′′))=0
f ( x ) f(x) f(x)在 X \textbf{X} X上一致连续： ∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 , ∀ x ′ , x ′ ′ ∈ X ( ∣ x ′ − x ′ ′ ∣ < δ ) : ∣ f ( x ′ ) − f ( x ′ ′ ) ∣ < ε \forall \varepsilon>0,\exists\delta>0,\forall x',x''\in\textbf{X}(|x'-x''|<\delta):|f(x')-f(x'')|<\varepsilon ∀ε>0,∃δ>0,∀x′,x′′∈X(∣x′−x′′∣<δ):∣f(x′)−f(x′′)∣<ε
则其否定命题为 ∃ ε > 0 , ∀ δ > 0 , ∃ x ′ , x ′ ′ ∈ X ( ∣ x ′ − x ′ ′ ∣ < δ ) : ∣ f ( x ′ ) − f ( x ′ ′ ) ∣ ≥ ε 0 \exists\varepsilon>0,\forall\delta>0,\exists x',x''\in\textbf{X}(|x'-x''|<\delta):|f(x')-f(x'')|\ge\varepsilon_{0} ∃ε>0,∀δ>0,∃x′,x′′∈X(∣x′−x′′∣<δ):∣f(x′)−f(x′′)∣≥ε0
取 δ = δ n = 1 n , ∃ x n ′ , x n ′ ′ ∈ X ( ∣ x n ′ − x n ′ ′ ∣ < 1 n ) : ∣ f ( x n ′ ) − f ( x n ′ ′ ) ∣ ≥ ε 0 \delta=\delta_{n}=\frac{1}{n},\exists x_{n}',x_{n}''\in\textbf{X}(|x_{n}'-x_{n}''|<\frac{1}{n}):|f(x_n')-f(x_n'')|\ge\varepsilon_{0} δ=δn=n1,∃xn′,xn′′∈X(∣xn′−xn′′∣<n1):∣f(xn′)−f(xn′′)∣≥ε0
成立 lim n → ∞ ( x n ′ − x n ′ ′ ) = 0 \lim\limits_{n\to\infty}(x_{n}'-x_{n}'')=0 n→∞lim(xn′−xn′′)=0，但 lim n → ∞ ( f ( x n ′ ) − f ( x n ′ ′ ) ) ≠ 0 \lim\limits_{n\to\infty}(f(x_{n}')-f(x_{n}''))\ne 0 n→∞lim(f(xn′)−f(xn′′))=0
由于逆否命题和原命题等价，充分性得证。
下面再给几张一致连续的几何图形帮助理解：
来自视频：一致连续的通俗解释
