证明在复射影空间中，由次数最多为d的齐次多项式定义的有限集的元素个数不超过d^n

设$n$和$d$为正整数。设$F_1,...,F_m$为$\mathbb{C}[X_0,...,X_n]$中次数最多为d的齐次多项式使得

V($F_1,...,F_m$):={($x_0 : $…: $x_n)\in {\mathbb{CP}}^n|F_1($x_0,…,$x_n)=...=F_m($x_0,…,$x_n)=0$}

是个有限集；这里${\mathbb{CP}}^n$是指n维复射影空间。证明：V($F_1,...,F_m$)的元素个数至多是$d^n$ 。

这个证明的关键在于理解复射影空间中的齐次多项式的零集的性质，以及如何利用这些性质来估计多个多项式的零集的元素个数。通过组合原理，我们能够得出一个关于零集元素个数的上界。

证：

1.问题条件:

• $n$ 和 $d$ 为正整数。

• $F_1,\dots ,F_m$ 是$\mathbb{C}[X_0,\dots ,X_n]$ 中次数至多为$d$的齐次多项式。

• $V(F_1,\dots ,F_m)$ 是有限集。

2.单个多项式零集的性质:

在${\mathbb{CP}}^n$中，单个次数为$d$的齐次多项式的零集是一个代数簇。对于齐次多项式$F_i$，其零集 $V(F_i)$ 是${\mathbb{CP}}^n$中的一个超曲面。

3.多个多项式的零集的关系:

当我们考虑多个齐次多项式 $F_1,\dots ,F_m$的零集时，$V(F_1,\dots ,F_m)$是这些超曲面的交集。根据条件，$V(F_1,\dots ,F_m)$是一个有限集，这表明这些超曲面是“横截的”，即它们的交集是有限个点。

4.元素个数的估计:

我们需要估计 $V(F_1,\dots ,F_m)$ 的元素个数。一个有力的工具是贝祖定理(Bezout’s theo- rem)。贝祖定理指出，如果我们有$n$ 个齐次多项式 $F_1,\dots ,F_n$，其中每个多项式的次数分别为$d_1,\dots ,d_n$，那么这些多项式的零集的点数(在一般位置下)最多是$d_1\cdot d_2\cdots d_n$。

在我们的情况下，假设$m=n$(即我们有$n$个多项式)，并且每个多项式的次数至多为$d$。根据贝祖定理，$V(F_1,\dots ,F_n)$的点数至多是$d\cdot d\cdot \dots \cdot d=d^n$。

如果$m<n$(即多项式的数量少于变量的数量)，我们可以通过添加$n-m$个次数为$d$的随机齐次多项式来补足，这样不改变原问题的性质。根据贝祖定理，新的系统的解的点数仍然至多是$d^n$。

综上，$V(F_1,\dots ,F_m)$的元素个数至多是$d^n$。

参考资料：裴蜀定理（贝祖定理）

数学定理

在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数（或最大公约式）的定理，裴蜀定理得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀。

裴蜀定理说明了对任何整数 a、b和它们的最大公约数 d ，关于未知数 x以及 y 的线性的丢番图方程（称为裴蜀等式）。

简介

裴蜀定理（或贝祖定理）得名于法国数学家艾蒂安·裴蜀，说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性不定方程（称为裴蜀等式）：若a,b是整数,且gcd(a,b)=d，那么对于任意的整数x,y,ax+by都一定是d的倍数，特别地，一定存在整数x,y，使ax+by=d成立。

它的一个重要推论是：a,b互质的充分必要条件是存在整数x,y使ax+by=1。

n个整数间的裴蜀定理

设a1,a2,a3…an为n个整数，d是它们的最大公约数，那么存在整数x1…xn使得x1a1+x2a2+…xn*an=d。

特别来说，如果a1…an存在任意两个数是互质的（不必满足两两互质），那么存在整数x1…xn使得x1a1+x2a2+…xn*an=1。证法类似两个数的情况。

任意主理想环上的情况

裴蜀可以推广到任意的主理想环上。设环A是主理想环，a和b 为环中元素，d是它们的一个最大公约元，那么存在环中元素x和y使得：

ax + by = d

这是因为在主理想环中，a和b的最大公约元被定义为理想aA + bA的生成元。