java数据结构与算法之二分查找（蓝桥杯）

二分查找算法也称折半查找，是一种非常高效的工作于有序数组的查找算法。后续的课程中还会学习更多的查找算法，但在此之前，不妨用它作为入门。

1.基础版

需求：在有序数组 A 内，查找值 target

• 如果找到返回索引

• 如果找不到返回 -1

算法描述

• 对于一个算法来讲，都有较为严谨的描述，上面是一个例子

• 后续讲解时，以简明直白为目标，不会总以上面的方式来描述算法

package demo;/*** 找的到返回索引* 找不到返回-1*/
public class Test1 {//查找元素5的下标public static void main(String[] args) {int[] arr = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};int index = binarySearch(arr, 9);System.out.println(index);}private static int binarySearch(int[] arr, int number) {int left = 0;//左下标int right = arr.length - 1;//右下标while (left <= right) {// int mid = (left + right) / 2;//中间值//解决二个正整数相加/2不出现负数(溢出）才进行右移运算/*因为正整数相加/2不能动符号位，移位可以进行符号位，右移1位相当于除以2（向下取整）* */int mid = (left + right) >>> 1;//右移1位，相当于除以2（向下取整）if (arr[mid] == number) {return mid;} else if (arr[mid] > number) {right = mid - 1;} else {left = mid + 1;}}return -1;}
}

• i,j 对应着搜索区间 [0,arr.length-1]（注意是闭合的区间），left<=right 意味着搜索区间内还有未比较的元素，left,right 指向的元素也可能是比较的目标

  • 思考：如果不加left==right行不行？

    • 回答：不行，因为这意味着 left,right 指向的元素会漏过比较

• m 对应着中间位置，中间位置左边和右边的元素可能不相等（差一个），不会影响结果

• 如果某次未找到，那么缩小后的区间内不包含 mid

• // int mid = (left + right) / 2;//中间值
  //解决二个正整数相加/2不出现负数(溢出）才进行右移运算
  /*因为正整数相加/2不能动符号位，移位可以进行符号位，右移1位相当于除以2（向下取整）
  * */
  int mid = (left + right) >>> 1;//右移1位，相当于除以2（向下取整）

2.改变版

public static int binarySearch(int[] a, int target) {int i = 0, j = a.length;while (i < j) {int m = (i + j) >>> 1;if (target < a[m]) {			// 在左边j = m;} else if (a[m] < target) {		// 在右边i = m + 1;} else {return m;}}return -1;
}

• i,j 对应着搜索区间 [0,a.length)（注意是左闭右开的区间），i<j 意味着搜索区间内还有未比较的元素，j 指向的一定不是查找目标

  • 思考：为啥这次不加 i==j 的条件了？

  • 回答：这回 j 指向的不是查找目标，如果还加 i==j 条件，就意味着 j 指向的还会再次比较，找不到时，会死循环

• 如果某次要缩小右边界，那么 j=m，因为此时的 m 已经不是查找目标了

为什么是j=m呢？

因为j最开始是指向不存在的元素的，如果写成j=m-1 ，那就可能m-1是我们要找的元素，就可能导致漏查。

3.平衡版

public static int binarySearchBalance(int[] a, int target) {int i = 0, j = a.length;while (1 < j - i) {int m = (i + j) >>> 1;if (target < a[m]) {j = m;} else {i = m;}}return (a[i] == target) ? i : -1;
}

思想：

1. 左闭右开的区间，i 指向的可能是目标，而 j 指向的不是目标

2. 不奢望循环内通过 m 找出目标, 缩小区间直至剩 1 个, 剩下的这个可能就是要找的（通过 i）

   • j - i > 1 的含义是，在范围内待比较的元素个数 > 1

3. 改变 i 边界时，它指向的可能是目标，因此不能 m+1

4. 循环内的平均比较次数减少了

4.Java 版

private static int binarySearch0(long[] a, int fromIndex, int toIndex,long key) {int low = fromIndex;int high = toIndex - 1;while (low <= high) {int mid = (low + high) >>> 1;long midVal = a[mid];if (midVal < key)low = mid + 1;else if (midVal > key)high = mid - 1;elsereturn mid; // key found}return -(low + 1);  // key not found.
}

long[] a 目标数组

int fromIndex为起始索引

int toIndex结束索引

long key代表要查找的目标元素值

• 例如 [1,3,5,6] 要插入 2 那么就是找到一个位置，这个位置左侧元素都比它小

  • 等循环结束，若没找到，low 左侧元素肯定都比 target 小，因此 low 即插入点

• 插入点取负是为了与找到情况区分

• -1 是为了把索引 0 位置的插入点与找到的情况进行区分

5.Leftmost与 Rightmost

有时我们希望返回的是最左侧的重复元素，如果用 Basic 二分查找

• 对于数组 [1, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 7]，查找元素4，结果是索引3

• 对于数组 [1, 2, 4, 4, 4, 5, 6, 7]，查找元素4，结果也是索引3，并不是最左侧的元素

public static int binarySearchLeftmost1(int[] a, int target) {int i = 0, j = a.length - 1;int candidate = -1;while (i <= j) {int m = (i + j) >>> 1;if (target < a[m]) {j = m - 1;} else if (a[m] < target) {i = m + 1;} else {candidate = m; // 记录候选位置j = m - 1;     // 继续向左}}return candidate;
}

有多个目标值时，采用candidate是记录索引的中间变量解决

如果希望返回的是最右侧元素

public static int binarySearchRightmost1(int[] a, int target) {int i = 0, j = a.length - 1;int candidate = -1;while (i <= j) {int m = (i + j) >>> 1;if (target < a[m]) {j = m - 1;} else if (a[m] < target) {i = m + 1;} else {candidate = m; // 记录候选位置i = m + 1;	   // 继续向右}}return candidate;
}

应用

对于 Leftmost 与 Rightmost，可以返回一个比 -1 更有用的值

Leftmost 改为

public static int binarySearchLeftmost(int[] a, int target) {int i = 0, j = a.length - 1;while (i <= j) {int m = (i + j) >>> 1;if (target <= a[m]) {j = m - 1;} else {i = m + 1;}}return i; 
}

返回i的含义是>=target最靠左的索引

Rightmost 改为

public static int binarySearchRightmost(int[] a, int target) {int i = 0, j = a.length - 1;while (i <= j) {int m = (i + j) >>> 1;if (target < a[m]) {j = m - 1;} else {i = m + 1;}}return i - 1;
}

返回i-1的含义是<=target最靠右的索引

搜索插入位置-Leetcode 35

参考答案1：用二分查找基础版代码改写，基础版中，找到返回 m，没找到 i 代表插入点，因此有

34

class Solution {public int[] searchRange(int[] a, int target) {int x=left(a,target);if(x==-1){return new int[]{-1,-1};}else{return new int[]{x,right(a,target)};}}public int left(int[]a,int target){int i=0;int j=a.length-1;int tmp=-1;while(i<=j){int m=(i+j)>>>1;if(a[m]>target){j=m-1;}else if(a[m]<target){i=m+1;}else{tmp=m;j=m-1;}}return tmp;}public int right(int[]a,int target){int i=0;int j=a.length-1;int tmp=-1;while(i<=j){int m=(i+j)>>>1;if(a[m]>target){j=m-1;}else if(a[m]<target){i=m+1;}else{tmp=m;i=m+1;}}return tmp;}}