【Python】整数除法不正确，少1的问题，以及有关浮点数转换的精度问题

1. 问题

今天在做leetcode 不同路径 的时候发现了个问题

对于m=53 n=4class Solution:def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:rlt = 1for i in range(0, m-1):rlt *= (m + n - 2 - i)for i in range(0, m-1):rlt /= (i + 1)return int(rlt)为什么这个结果是 26234class Solution:def uniquePaths(self, m: int, n: int) -> int:up = 1down = 1for i in range(0, m-1):up *= (m + n - 2 - i)for i in range(0, m-1):down *= (i + 1)return int(up/down)而这个结果是 26235

据GPT描述，两个代码逻辑上是相同的，计算的是组合数 $C_{m+n-2}^{m-1}$：

$$C_{m+n-2}^{m-1}=\frac{(m+n-2)!}{(m-1)!(n-1)!}$$

然而，两个代码的计算方式有所不同：

1. 第一个代码 直接使用浮点除法 rlt /= (i + 1)，在 Python 中，浮点数的计算可能会引入精度误差，最终 int(rlt) 向下取整，导致结果偏小。

2. 第二个代码 分别计算 up 和 down，然后用 int(up/down)，由于 Python 的整数运算是精确的，这种方式避免了浮点误差，得到了正确的组合数 26235。

第一个代码因为浮点误差，导致 int(rlt) 取整后比正确值少 1，所以结果是 26234，而第二个代码由于整数计算的精确性，得到了正确答案 26235。

2. 思考

即使除法的数学结果是整数，如果中间计算涉及浮点数，可能会因为浮点精度误差导致最终取整时丢失 1。我们来深入分析原因：

① Python 的 / 生成浮点数

Python 里的 / 即使除得的是整数，结果仍然是 float。例如：

print(10 / 2)  # 5.0
print(type(10 / 2))  # <class 'float'>

在代码中，这意味着：

rlt = int(rlt / (i + 1))

即使 rlt / (i + 1) 的数学结果是整数，Python 仍然会先计算 浮点数，然后 int() 强制取整，可能引入误差。

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② 浮点数存储精度问题

Python 的浮点数是基于 IEEE 754 标准的 双精度浮点数（double precision）。但 某些整数在浮点数表示中无法精确存储，例如：

x = 10000000000000003
y = 10000000000000002print(float(x))  # 10000000000000004.0  (存储时发生变化)
print(float(y))  # 10000000000000002.0  (存储正确)

当 rlt 变大时，比如 C_{m+n-2}^{m-1} 计算过程中，rlt 可能会进入 浮点存储的误差范围，导致浮点数计算不精确。

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③ int() 取整丢失 1

浮点数不能精确表示某些大整数时，取 int() 可能会导致向下取整。假设 rlt / (i + 1) 的数学结果是 26235，但由于浮点精度问题，Python 存储的可能是：

26234.999999999998

此时 int(26234.999999999998) 向下取整，结果变成 26234，比正确答案少了 1。

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④ 解决方案

避免浮点数参与计算，直接使用 整数除法 //，确保所有计算都在 整数空间 进行：

rlt //= (i + 1)  # 这样不会有浮点精度问题

这样，每次除法都保证是 整数运算，不会因浮点精度误差导致 int() 取整出错。

3. 进一步理解

为什么x = 10000000000000003
y = 10000000000000002print(float(x))  # 10000000000000004.0  (存储时发生变化)
print(float(y))  # 10000000000000002.0  (存储正确)

这个现象是由于 IEEE 754 双精度浮点数（double precision floating point） 的 有限精度 导致的。让我们来深入分析为什么 10000000000000003 在转换成 float 时变成了 10000000000000004.0，而 10000000000000002 仍然能正确存储。

① 浮点数的存储方式

Python 的 float 类型遵循 IEEE 754 双精度浮点数标准，使用 64 位 进行存储：

• 1 位 表示符号位（正/负）。
• 11 位 表示指数（决定浮点数的范围）。
• 52 位 表示 尾数（精确存储的部分）。

由于 52 位尾数最多只能精确存储 52 位二进制数，所以如果一个整数的二进制表示超过 52 位，就必须 进行四舍五入，这可能导致数值发生变化。

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② 10000000000000003 和 10000000000000002 的二进制表示

我们先看看这两个数的 二进制表示（十进制 → 二进制）：

10000000000000002

10000000000000002 = 10001110000110111100100110101100111011001000000000000000000010 (二进制)

• 这个数的尾数（低 52 位）可以被精确存储，所以转换成 float 时不会损失精度。

10000000000000003

10000000000000003 = 10001110000110111100100110101100111011001000000000000000000011 (二进制)

• 这个数的尾数超过了 52 位的存储限制，所以 IEEE 754 必须进行四舍五入。
• 由于 IEEE 754 采用 “最接近偶数舍入”（round to nearest, ties to even），它会 向上舍入 到 10000000000000004，因此 float(10000000000000003) 变成了 10000000000000004.0。

③ 为什么 10000000000000003 变成 10000000000000004.0？

当一个整数大到超出 52 位精度范围 时：

1. 无法精确存储，需要进行近似表示。
2. IEEE 754 采用“四舍五入到最近的偶数”规则：
   • 10000000000000003 比 10000000000000004 更接近 10000000000000004，所以它会被 向上舍入。
   • 如果它的二进制表示是 ...00011（奇数结尾），IEEE 754 会向上舍入到 ...00100（偶数）。

所以：

print(float(10000000000000003))  # 10000000000000004.0
print(float(10000000000000002))  # 10000000000000002.0

这个现象就是 浮点数的精度限制 造成的，它在转换时 自动进行了四舍五入，使得 10000000000000003 变成了 10000000000000004.0。

总结

• Python float 遵循 IEEE 754 双精度浮点数（64 位），其中只有 52 位 用于存储尾数，超过部分会 四舍五入。
• 10000000000000002 可以精确存储，因为它的二进制表示没有超出 52 位精度范围。
• 10000000000000003 由于超出 52 位精度范围，被四舍五入成 10000000000000004.0。

写在最后

本文采用了 ChatGPT 辅助进行内容的书写和完善