进制转换，base可能为负数

0x01 特殊：base=-2

LeetCode

0x02 前置知识：c++ %规则

我们需要知道，在 $C$++ 中，余数的符号取决于被除数，也即，a%b=c 中 $c$ 的符号取决于 $a$ 的符号，即，$a$ 是什么符号，$c$ 就是什么符号，与 $b$ 的符号无关。

int a[4] = {11, 11, -11, -11};
int b[4] = {2, -2, 2, -2};
for(int i = 0; i < 4; i ++ )cout << a[i] / b[i] << "..." << a[i] % b[i] << endl;

输出结果为：

5...1
-5...1
-5...-1
5...-1

另外，a/b=c 中 $c$ 的符号是显而易见的，如果 $a$ 和 $b$ 同符号，$c$ 就是正号，反之，如果 $a$ 和 $b$ 异号，$c$ 就是负号。
知道了上述规则，a/b=c..d 的 $c$ 和 $d$ 的值我们就可以自己求解了。

0x03 前置知识：取整规则

$C$++ 和 $Java$ 是向 $0$ 取整，$Python$ 是下取整

0x04 十进制转其他进制 – 辗转相除法

如果将一个 $10$ 进制转换为一个 $2,3,4,....n$（正数） 进制，是很容易的，我们直接辗转相处然后对字符串 $reverse$ 就行了。当然，如果数字不够用，还需要用到 $a,b,c..$
但是今天做到 0x01 这道题时，着实让我烧脑筋了，因为我想知道一种通用的解法，不仅仅局限于进制为 $-2$ 的情况，对于 $-3,-4,-5$ 甚至于 $2,3,4$ 都可以通用的解决。
其实，当进制为负数时主要有一个问题：那就是，辗转相除时，余数可能为负数，此时该怎么办呢？

首先，余数为负数说明被除数肯定是个负数（$0x02$）。
并且被除数（也就是 $base$）也肯定是个负数，因为我们规定输入的十进制数都是正数，而这里被除数（十进制数）成了负数，说明此时除数肯定是负数。

好了，现在回归正题，我们肯定不能让余数为负数啊，所以我们需要把它转换为非负数。
直接告诉你方法：如果余数为负数，就加上进制的绝对值。
为什么这么做是正确的？因为我们可以很自然的修改商。
例如：十进制数为 $a=-11$，进制为 $b=-2$，商为 $c$，余数为 $d$。
-11/-2=5...-1，因此我们需要让 $d=-1+abs(-2)=1$，但是修改了 $-1$，$c\ast b+d==a$ 的等价关系就不成立了。
因此，我们还需要修改商，这里，我们只需要让商直接 $+1$ 就好了。
因为让余数加上进制的绝对值就相当于让余数减去进制（前面证明了，进制一定是负数），所以我们需要让商 $+1$，相当于把减去的进制加上了。
这样：(c+1)*b+(d-b)==c*b+d==a 依然成立。

如果我们不是让余数加上进制的绝对值，而是加上了一个其他的数，此时我们仍然需要通过改动商来维护等价关系（不可能修改进制，修改除数没意义）。
但是此时，商可能变成一个浮点数，例如，余数加上了 $k$，那么我们需要让 (c+q)*b+(d+k)==c*b+d 成立。
就需要让 $q=-k/b$，$q$ 未必是个整数。

0x05 通解：abs(bsae)<10

当 $base>=10$ 时需要用到 $a,b,c,....$，这应该不会考到，也不需要用，$16$ 进制就很好了。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <climits>
#include <cassert>
#include <cmath>using namespace std;const int N = 1024 * 1024;// 将正整数n转换为base进制并输出结果
// abs(base) < 10 && base != 0
string toBaseStr(int n, int base);// 测试程序
void test();
string toBaseStr(int n, int base);int main()
{test();return 0;
}string toBaseStr(int n, int base) 
{assert(base);if(n == 0)  return "0";string res("");while(n) {int c = n % base;n /= base;if(c < 0) c -= base, n ++ ;res += to_string(c);}reverse(res.begin(), res.end());return res;
}static void doTestBase(int base)
{int debuger = 0;for(int i = 0; i < N; i ++ ){string s = toBaseStr(i, base);string t = s;int n = s.size();int test = 0;reverse(t.begin(), t.end());for(int j = 0; j < n; j ++ )if(t[j] != '0') test += (t[j] - '0') * pow(base, j);if(test != i)cout << "[Wrong" << ++ debuger << "]: " << i << "->" << s << " is " << test << endl;// else //     cout << "[Accpet]: " << i << "->" << s << " is " << test << endl;}if(!debuger)cout << "[Accept] base = " << base << endl;
}void test()
{clock_t start = clock();for(int i = 2; i < 10; i ++ ){doTestBase(i);doTestBase(-i);}printf("CPU Time = %.2lfs\n", (clock() - start) * 1.0 / CLOCKS_PER_SEC);
}

0x06 参考

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