【动态规划】 深入动态规划 回文子串问题

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前言

那么，什么是动态规划中的回文子串问题呢？

动态规划中的回文子串问题是一个经典的字符串处理问题。具体描述为：给定一个字符串，要求找出该字符串中所有的回文子串。回文子串是指从左到右和从右到左读起来都一样的字符串片段。
例如，对于字符串 “abcba”，其中的 “a”“b”“c”“aba”“bcb”“abcba” 都是回文子串。
解决这个问题通常使用动态规划的方法。定义一个二维布尔数组dp[i][j]，表示字符串中从索引i到索引j的子串是否为回文子串。初始化时，单个字符一定是回文子串，即dp[i][i] = true。然后，从长度为 2 的子串开始逐步计算到整个字符串的长度。对于长度大于 1 的子串，如果两端字符相等，即s[i] == s[j]，并且去掉两端字符后的子串也是回文子串，即dp[i + 1][j - 1] = true，那么这个子串就是回文子串，dp[i][j] = true。通过这样的动态规划过程，可以高效地找出字符串中的所有回文子串，时间复杂度通常为O(n²)，其中n是字符串的长度。

下面本文将通过以例题的形式详细阐述动态规划中的回文子串问题。

例题

一、回文子串

1. 题目链接：回文子串
2. 题目描述：

给你⼀个字符串 s ，请你统计并返回这个字符串中 回文字串的数目。 回文字符串 是正着读和倒过来读⼀样的字符串。 ⼦字符串 是字符串中的由连续字符组成的⼀个序列。 具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。
示例 1：
输入：s = “abc”
输出：3
解释：三个回文子串: “a”, “b”, “c”
示例 2：
输入：s = “aaa”
输出：6
解释：6个回文子串: “a”, “a”, “a”, “aa”, “aa”, “aaa”
提示：1 <= s.length <= 1000
s 由小写英文字母组成

3. 解法（动态规划）： 算法思路： 我们可以先「预处理」⼀下，将所有子串「是否回文」的信息统计在 dp 表里面，然后直接在表里面统计 true 的个数即可。
   状态表示：为了能表示出来所有的子串，我们可以创建⼀个 n * n 的⼆维 dp 表，只用到「上三角部分」 即可。 其中， dp[i][j] 表示： s 字符串 [i, j] 的子串，是否是回文串。
   状态转移方程： 对于回文串，我们一般分析一个「区间两头」的元素：
   i. 当 s[i] != s[j] 的时候：不可能是回⽂串， dp[i][j] = 0 ；
   ii. 当 s[i] == s[j] 的时候：根据⻓度分三种情况讨论：
   • 长度为 1 ，也就是 i == j ：此时⼀定是回文串， dp[i][j] = true ；
   • 长度为 2 ，也就是 i + 1 == j ：此时也⼀定是回文串， dp[i][j] = true ；
   • 长度大于 2 ，此时要去看看 [i + 1, j - 1] 区间的子串是否回文： dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] 。 综上，状态转移方程分情况谈论即可。
   初始化：因为我们的状态转移方程分析的很细致，因此无需初始化。
   填表顺序： 根据「状态转移方程」，我们需要「从下往上」填写每⼀行，每⼀行的顺序无所谓。
   返回值： 根据「状态表示和题母要求」，我们需要返回 dp 表中 true 的个数。

4. 代码示例：

 public int countSubstrings(String s) {// 1. 创建 dp 表// 2. 初始化// 3. 填表// 4. 返回值int n = s.length();boolean[][] dp = new boolean[n][n];int ret = 0;for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {for (int j = i; j < n; j++) {if (s.charAt(i) == s.charAt(j))dp[i][j] = i + 1 < j ? dp[i + 1][j - 1] : true;if (dp[i][j])ret++;}}return ret;}

二、 最长回文子串

1. 题目链接：最长回文子串
2. 题目描述：

给你⼀个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。 如果字符串的反序与原始字符串相同，则该字符串称为回文字符串。
示例 1： 输入：s = “babad” 输出：“bab” 解释：“aba” 同样是符合题意的答案。
示例 2： 输入：s = “cbbd” 输出：“bb”
提示：1 <= s.length <= 1000
s 仅由数字和英文字母组成

3. 解法（动态规划）：
   算法思路：
   a. 我们可以先⽤ dp 表统计出「所有子串是否回文」的信息
   b. 然后根据 dp 表示 true 的位置，得到回文串的「起始位置」和「长度」。
   那么我们就可以在表中找出最长回文串

4. 代码示例：

public String longestPalindrome(String s) {// 1. 创建 dp 表// 2. 初始化// 3. 填表// 4. 返回值int n = s.length();boolean[][] dp = new boolean[n][n];int begin = 0, len = 1; // 标记⼀下最⻓⼦串的起始位置和⻓度for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {for (int j = i; j < n; j++) {if (s.charAt(i) == s.charAt(j))dp[i][j] = i + 1 < j ? dp[i + 1][j - 1] : true;if (dp[i][j] && j - i + 1 > len) {len = j - i + 1;begin = i;}}}return s.substring(begin, begin + len);}

三、回文串分割IV

1. 题目链接：回文串分割IV
2. 题目描述：

给你⼀个字符串 s ，如果可以将它分割成三个非空回文子字符串，那么返回 true ，否则返 回 false 。 当⼀个字符串正着读和反着读是⼀模⼀样的，就称其为回文字符串 。
示例 1： 输入：s = “abcbdd” 输出：true
解释：“abcbdd” = “a” + “bcb” + “dd”，三个⼦字符串都是回⽂的。
示例 2： 输入：s = “bcbddxy” 输出：false
解释：s 没办法被分割成 3 个回文子字符串。
提⽰： 3 <= s.length <= 2000
s 只包含⼩写英⽂字⺟。

3. 解法（动态规划）：
   算法思路： 题目要求⼀个字符串被分成「三个非空回文子串」，乍⼀看，要表⽰的状态很多，有些无从下手。 其实，我们可以把它拆成「两个小问题」：
   i. 动态规划求解字符串中的⼀段非空子串是否是回文串；
   ii. 枚举三个子串除字符串端点外的起止点，查询这三段非空子串是否是回文串。 那么这道困难题就免秒变为简单题啦，变成了⼀道枚举题。

4. 代码示例：

 public boolean checkPartitioning(String s) {// 1. 利⽤ dp 处理⼀下所有的⼦串是否回⽂int n = s.length();boolean[][] dp = new boolean[n][n];for (int i = n - 1; i >= 0; i--)for (int j = i; j < n; j++)if (s.charAt(i) == s.charAt(j))dp[i][j] = i + 1 < j ? dp[i + 1][j - 1] : true;// 2. 枚举第⼆个字符串所有的起始位置和终⽌位置for (int i = 1; i < n - 1; i++)for (int j = i; j < n - 1; j++)if (dp[0][i - 1] && dp[i][j] && dp[j + 1][n - 1])return true;return false;}

四、分割回文串II

1. 题目链接：分割回文串
2. 题目描述：

给你⼀个字符串 s，请你将 s 分割成⼀些⼦串，使每个子串都是回文。 返回符合要求的最少分割次数 。
示例 1：输入：s = “aab” 输出：1
解释：只需⼀次分割就可将 s 分割成 [“aa”,“b”] 这样两个回⽂⼦串。
示例 2：输入：s = “a” 输出：0
示例 3：输入：s = “ab” 输出：1

3. 解法（动态规划）：
   算法思路：
   状态表⽰： 根据「经验」，继续尝试用 i 位置为结尾，定义状态表示，看看能否解决问题：
   dp[i] 表⽰： s 中 [0, i] 区间上的字符串，最少分割的次数。
   状态转移⽅程： 状态转移⽅程⼀般都是根据「最后⼀个位置」的信息来分析：设 0 <= j <= i ，那么我们可以 根据 j ~ i 位置上的⼦串是否是回⽂串分成下面两类：
   i. 当 [j ,i] 位置上的⼦串能够构成⼀个回文串，那么 dp[i] 就等于 [0, j - 1] 区 间上最少回文串的个数 + 1，即 dp[i] = dp[j - 1] + 1 ；
   ii. 当 [j ,i] 位置上的子串不能构成⼀个回文串，此时 j 位置就不用考虑。 由于我们要的是最⼩值，因此应该循环遍历⼀遍 j 的取值，拿到里面的最小值即可。 优化：我们在状态转移方程里面分析到，要能够快速判读字符串里面的子串是否回文。因此，我们 可以先处理⼀个 dp 表，里面保存所有子串是否回文的信息。
   初始化： 观察「状态转移方程」，我们会用到 j - 1 位置的值。我们可以思考⼀下当 j == 0 的时候， 表⽰的区间就是 [0, i] 。如果 [0, i] 区间上的字符串已经是回文串了，最⼩的回⽂串就是 1 了， j 往后的值就不⽤遍历了。 因此，我们可以在循环遍历 j 的值之前处理 j == 0 的情况，然后 j 从 1 开始循环。 但是，为了防止求 min 操作时， 0 干扰结果。我们先把表里面的值初始化为「无穷大」。
   填表顺序： 毫无疑问是「从左往右」。
   返回值： 根据「状态表示」，应该返回 dp[n - 1]

4. 代码示例：

 public int minCut(String s) {// 1. 预处理int n = s.length();boolean[][] isPal = new boolean[n][n];for (int i = n - 1; i >= 0; i--)for (int j = i; j < n; j++)if (s.charAt(i) == s.charAt(j))isPal[i][j] = i + 1 < j ? isPal[i + 1][j - 1] : true;int[] dp = new int[n];for (int i = 0; i < n; i++) dp[i] = Integer.MAX_VALUE;for (int i = 0; i < n; i++) {if (isPal[0][i]) dp[i] = 0;else {for (int j = 1; j <= i; j++)if (isPal[j][i])dp[i] = Math.min(dp[i], dp[j - 1] + 1);}}return dp[n - 1];}

五、最长回文子序列

1. 题目链接：最长回文子序列
2. 题目描述：

给你⼀个字符串 s ，找出其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。 子序列定义为：不改变剩余字符顺序的情况下，删除某些字符或者不删除任何字符形成的⼀个序列。
示例 1：输入：s = “bbbab” 输出：4 解释：⼀个可能的最长回文子序列为 “bbbb” 。
示例 2：输入：s = “cbbd” 输出：2 解释：⼀个可能的最长回文子序列为 “bb” 。

3. 解法（动态规划）：
   算法思路：
   状态表示： 关于「单个字符串」问题中的「回文子序列」，或者「回文子串」，我们的状态表⽰研究的对象⼀ 般都是选取原字符串中的⼀段区域 [i, j] 内部的情况。这里我们继续选取字符串中的⼀段区域 来研究：
   dp[i][j] 表示：s 字符串 [i, j] 区间内的所有的⼦序列中，最长的回文子序列的长度。
   状态转移⽅程： 关于「回文子序列」和「回文子串」的分析方式，⼀般都是比较固定的，都是选择这段区域的「左 右端点」的字符情况来分析。因为如果⼀个序列示回文串的话，「去掉首尾两个元素之后依旧是回文串」，「⾸尾加上两个相同的元素之后也依旧是回文串」。因为，根据「首尾元素」的不同，可以分为下面两种情况：
   i. 当⾸尾两个元素「相同」的时候，也就是 s[i] == s[j] ：那么 [i, j] 区间上的最长回文子序列，应该是 [i + 1, j - 1] 区间内的那个最长回文子序列首尾填上=s[i] 和 s[j] ，此时 dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2
   ii. 当首尾两个元素不「相同」的时候，也就是 s[i] != s[j] ：此时这两个元素就不能同 时添加在⼀个回文串的左右，那么我们就应该让 s[i] 单独加在⼀个序列的左边，或者 让 s[j] 单独放在⼀个序列的右边，看看这两种情况下的最大值：
   • 单独加入 s[i] 后的区间在 [i, j - 1] ，此时最长的回文序列的长度就是 dp[i]
   [j - 1] ；
   • 单独加⼊ s[j] 后的区间在 [i + 1, j] ，此时最长的回文序列的长度就是 dp[i + 1][j] ； 取两者的最⼤值，于是 dp[i][j] =max(dp[i][j - 1], dp[i + 1][j])
   综上所述，状态转移⽅程为：
   ▪ 当 s[i] == s[j] 时： dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2
   ▪ 当 s[i] != s[j] 时： dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + 1][j])
   初始化： 我们的初始化⼀般就是为了处理在状态转移的过程中，遇到的⼀些边界情况，因为我们需要根据状 态转移⽅程来分析哪些位置需要初始化。 根据状态转移⽅程 dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2 ，我们状态表⽰的时候，选取的是⼀段区间，因此需要要求左端点的值要小于等于右端点的值，因此会有两种边界情况：
   i. 当 i == j 的时候， i + 1 就会大于 j - 1 ，此时区间内只有⼀个字符。这个比较好 分析， dp[i][j] 表示⼀个字符的最⻓回⽂序列，⼀个字符能够自己组成回文串，因此此
   时 dp[i][j] = 1 ；
   ii. 当 i + 1 == j 的时候， i + 1 也会大于 j - 1 ，此时区间内有两个字符。这样也好分析，当这两个字符相同的时候， dp[i][j] = 2 ；不相同的时候， d[i][j] = 0 。 对于第⼀种边界情况，我们在填表的时候，就可以同步处理。 对于第⼆种边界情况， dp[i + 1][j - 1] 的值为 0 ，不会影响最终的结果，因此可以不用考虑。
   填表顺序： 根据「状态转移」，我们发现，在 dp 表所表示的矩阵中， dp[i + 1] 表示下⼀行的位置，
   dp[j - 1] 表示前⼀列的位置。因此我们的填表顺序应该是「从下往上填写每⼀行」，「每⼀行从左往右」。
   这个与我们⼀般的填写顺序不太⼀致。
   返回值： 根据「状态表示」，我们需要返回 [0, n -1] 区域上的最长回文序列的长度，因此需要返回dp[0][n - 1] 。

4. 代码示例：

public int longestPalindromeSubseq(String s) {// 1. 创建 dp 表// 2. 初始化// 3. 填表// 4. 返回结果int n = s.length();int[][] dp = new int[n][n];for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {dp[i][i] = 1;for (int j = i + 1; j < n; j++)if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;else dp[i][j] = Math.max(dp[i][j - 1], dp[i + 1][j]);}return dp[0][n - 1];}

六、让字符串成为回文串的最小插入次数

1. 题目链接： 让字符串成为回文串的最小插入次数
2. 题目描述：

给你⼀个字符串 s ，每⼀次操作你都可以在字符串的任意位置插⼊任意字符。 请你返回让 s 成为回⽂串的 最少操作次数 。 「回⽂串」是正读和反读都相同的字符串。
示例 1： 输⼊：s = “zzazz” 输出：0
解释：字符串 “zzazz” 已经是回⽂串了，所以不需要做任何插⼊操作。
示例 2： 输入：s = “mbadm” 输出：2 解释：字符串可变为 “mbdadbm” 或者 “mdbabdm” 。
示例 3： 输入：s = “leetcode”
输出：5 解释：插入 5 个字符后字符串变为 “leetcodocteel” 。 提⽰： 1 <= s.length <= 500
s 中所有字符都是小写字母。

3. 解法（动态规划）： 算法思路：
   状态表⽰： 关于「单个字符串」问题中的「回文子序列」，或者「回文子串」，我们的状态表⽰研究的对象⼀ 般都是选取原字符串中的⼀段区域 [i, j] 内部的情况。这里我们继续选取字符串中的⼀段区域来研究： 状态表示： dp[i][j] 表⽰字符串 [i, j] 区域成为回文子串的最少插入次数。
   状态转移方程： 关于「回文子序列」和「回文子串」的分析方式，⼀般都是比较固定的，都是选择这段区域的「左右端点」的字符情况来分析。因为如果⼀个序列是回文串的话，「去掉首尾两个元素之后依旧是回文串」，「首尾加上两个相同的元素之后也依旧是回文串」。因为，根据「首尾元素」的不同，可以分为下面两种情况：
   i. 当⾸尾两个元素「相同」的时候，也就是 s[i] == s[j] ：
   那么 [i, j] 区间内成为回⽂⼦串的最少插入次数，取决于 [i + 1, j - 1] 区间 内成为回⽂⼦串的最少插入次数；
   若 i == j 或 i == j - 1 （ [i + 1, j - 1] 不构成合法区间），此时只有 1 ~ 2 个相同的字符， [i, j] 区间⼀定是回⽂⼦串，成为回⽂⼦串的最少插⼊次数是 0。 此时 dp[i][j] = i >= j - 1 ? 0 : dp[i + 1][j - 1] ；
   ii. 当⾸尾两个元素「不相同」的时候，也就是 s[i] != s[j] ：
   此时可以在区间最右边补上⼀个 s[i] ，需要的最少插⼊次数是 [i + 1, j] 成为回文子串的最少插入次数 + 本次插⼊，即 dp[i][j] = dp[i + 1][j] + 1 ；
   此时可以在区间最左边补上⼀个 s[j] ，需要的最少插⼊次数是 [i, j + 1] 成为回文子串的最少插入次数 + 本次插⼊，即 dp[i][j] = dp[i][j + 1] + 1 ； 综上所述，状态转移⽅程为：
   ▪ 当 s[i] == s[j] 时： dp[i][j] = i >= j - 1 ? 1 : dp[i + 1][j - 1];
   ▪ 当 s[i] != s[j] 时： dp[i][j] = min(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1]) + 1 。
   初始化： 根据「状态转移方程」，没有不能递推表示的值。无需初始化。
   填表顺序： 根据「状态转移」，我们发现，在 dp 表所表示的矩阵中， dp[i + 1] 表示下一行的位置，
   dp[j - 1] 表示前⼀列的位置。因此我们的填表顺序应该是「从下往上填写每一行」，「每一行从左往右」。
   这个与我们⼀般的填写顺序不太⼀致。
   返回值： 根据「状态表示」，我们需要返回 [0, n -1] 区域上成为回文子串的最少插入次数，因此需要返回 dp[0][n - 1] 。

4. 代码示例：

public int minInsertions(String s) {int n = s.length();int[][] dp = new int[n][n]; // 创建 dp 表for (int i = n - 1; i >= 0; i--)for (int j = i + 1; j < n; j++)if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1];else dp[i][j] = Math.min(dp[i][j - 1], dp[i + 1][j]) + 1;return dp[0][n - 1];}

结语

本文到这里就结束了，主要通过几道回文子串算法题，介绍了这种类型动态规划的做题思路，带大家深入了解了动态规划中回文子串算法这一类型。

以上就是本文全部内容，感谢各位能够看到最后，如有问题，欢迎各位大佬在评论区指正，希望大家可以有所收获！创作不易，希望大家多多支持！

最后，大家再见！祝好！我们下期见！