变分法笔记4

设 $x_1(t),\dots ,x_n(t)$ 是在区间 $a\le t\le b$ 上定义的实值函数。设 $x:[a,b]\to {\mathbb{R}}^n$ 由 $x(t)=(x_1(t),\dots ,x_n(t))$ 定义。(1)
函数 $x$ 是向量值的，特别地，是 ${\mathbb{R}}^n$ 值的。可以将 $x(t)$ 想象为随着 $t$ 从 $a$ 增加到 $b$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 中追踪一条曲线。我们将函数和曲线都称为 $x$。

$x$ 在 $t$ 处的导数是向量
$$\dot{x}(t)=({\dot{x}}_1(t),\dots ,{\dot{x}}_n(t))$$
向量 $\dot{x}(t)$ 与 $x$ 在 $x(t)$ 点处追踪的曲线相切。如果 $x(t)$ 是一个移动粒子的位置，那么 $\dot{x}(t)$ 就是粒子的速度。

我们考虑形式如下的泛函
$$J(x)={\int }_a^{b}L(t,x(t),\dot{x}(t))dt$$
拉格朗日量 $L$ 是一个具有 $2n+1$ 个参数的函数。我们：
a. 泛函 $J$ 的定义域 $D$ 中的函数 $x$ 应该是光滑的。这意味着分量 $x_k$ 具有我们所需的尽可能多的连续导数。
b. 我们对 $D$ 中的函数施加边界条件，
$$x(a)=\alpha \text{和}x(b)=\beta ,$$
其中 $\alpha =({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)$ 和 $\beta =({\beta }_1,\dots ,{\beta }_n)$。满足上述条件的函数 $x$ 在 ${\mathbb{R}}^n$ 中从 $\alpha$ 到 $\beta$ 追踪一条曲线。
c. 可接受的变分是平滑函数 $g(t)=(g_1(t),\dots ,g_n(t))$，这些函数在 $a$ 和 $b$ 处消失。因此 $g(a)=g(b)=0$。

$x\in D$ 处 $J$ 的 Gâteaux 变分方向为 $h\in A$ 是
$$\delta J(x,g)={\frac{d}{dϵ}J(x+ϵg)|}_{ϵ=0}={\int }_a^b\sum _{k=1}^n\left(\frac{\partial L}{\partial x_k}{g}_k+\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}_k}{\dot{g}}_k\right)dt$$
$$={\int }_a^b\sum _{k=1}^n\left(\frac{\partial L}{\partial x_k}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}_k}\right)g_{k}dt$$
由上式，如果 $x$ 满足 $n$ 个欧拉方程的系统，
$$\frac{\partial L}{\partial x_k}-\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}_k}=0,k=1,\dots ,n,$$
则 $x$ 是 $J$ 的极值。

哈密顿量是
$$H=-L(t,x,\dot{x})+\sum _{k=1}^n{\dot{x}}_k\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}_k}(t,x,\dot{x})$$
a. 当 $L=L(x,\dot{x})$ 时，哈密顿量是欧拉方程系统的第一个积分。这意味着
$$H=-L(x,\dot{x})+\sum _{k=1}^n{\dot{x}}_k\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}_k}(x,\dot{x})=\text{constant},$$
如果 $x$ 满足上述欧拉方程系统。
b. 如果 $L=L(t,\dot{x})$，则 $n$ 个函数 $\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}_k}$，$k=1,\dots ,n$ 是系统的第一个积分。
c. 如果 $L=L(t,x)$，则欧拉方程系统简化为代数方程组
$$\frac{\partial L}{\partial x_k}=0,k=1,\dots ,n.$$