排序算法之基数排序

title: 基数排序
date: 2024-7-25 14:29:53 +0800
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基数排序
description: 基数排序（radix sort）的核心思想与计数排序一致，也通过统计个数来实现排序。在此基础上，基数排序利用数字各位之间的递进关系，依次对每一位进行排序，从而得到最终的排序结果。
math: true

基数排序

基数排序（Radix Sort）是一种非比较型整数排序算法。它通过将整数按位数分组排序，从最低有效位到最高有效位，或者从最高有效位到最低有效位，依次进行排序，从而实现最终的排序结果。

基数排序的原理

基数排序是一种稳定的排序算法，适用于整数排序。其主要思想是将整数按位数分组，从最低有效位开始，一次对每个位数进行计数排序（Counting Sort），最终得到有序数组。

两种实现方式

LSD（Least Significant Digit）：从最低有效位开始排序，逐步向最高有效位进行。
MSD（Most Significant Digit）：从最高有效位开始排序，逐步向最低有效位进行。

图示

基数排序

基数排序的步骤

确定最大位数：找到数组中最大数的位数，以确定需要进行几轮排序。
逐位排序：从最低有效位开始，对每个位进行计数排序。
合并结果：每次排序完成后，合并结果进行下一轮排序，直到所有位数排序完成。

示例

基数排序

为什么从最低位开始排序？

在连续的排序轮次中，后一轮排序会覆盖前一轮排序的结果。举例来说，如果第一轮排序结果 a < b ，而第二轮排序结果 a > b，那么第二轮的结果将取代第一轮的结果。由于数字的高位优先级高于低位，因此应该先排序低位再排序高位。

复杂度分析

相较于计数排序，基数排序适用于数值范围较大的情况，但前提是数据必须可以表示为固定位数的格式，且位数不能过大。例如，浮点数不适合使用基数排序，因为其位数 $k$ 过大，可能导致时间复杂度 $\gg O(n^2)$ 。

时间复杂度为 $O (nk)$ 、非自适应排序：设数据量为 $n$ 、数据为 $d$ 进制、最大位数为 $k$ ，则对某一位执行计数排序使用 $O (n + d)$ 时间，排序所有 $k$ 位使用 $O ((n + d) k)$ 时间。通常情况下， $d$ 和 $k$ 都相对较小，时间复杂度趋向 $O (n)$ 。
空间复杂度为 $O (n + k)$ 、非原地排序：与计数排序相同，基数排序需要借助长度为 $n$ 和 $k$ 的数组 res 和 counter 。
稳定排序：当计数排序稳定时，基数排序也稳定；当计数排序不稳定时，基数排序无法保证得到正确的排序结果。

时间复杂度

最佳情况： $O (nk)$
最坏情况： $O (nk)$
平均情况： $O (nk)$

空间复杂度

空间复杂度： $O (n + k)$ 。

Java代码实现

对于一个 $d$ 进制的数字 $x$ ，要获取其第 $k$ 位 $x_k$ ，可以使用以下计算公式：

$x_k = \lfloor\frac{x}{d^{k-1}}\rfloor \bmod d$

其中 $\lfloor a \rfloor$ 表示对浮点数 $a$ 向下取整，而 $\bmod \: d$ 表示对 $d$ 取模（取余）。
比如8位10进制的数据， $d = 10$ 且 $\in [1, 8]$ 。

此外，我们需要小幅改动计数排序代码，使之可以根据数字的第 $k$ 位进行排序：

/* 获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1) */
int digit(int num, int exp) {// 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算return (num / exp) % 10;
}/* 计数排序（根据 nums 第 k 位排序） */
void countingSortDigit(int[] nums, int exp) {// 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶数组int[] counter = new int[10];int n = nums.length;// 统计 0~9 各数字的出现次数for (int i = 0; i < n; i++) {int d = digit(nums[i], exp); // 获取 nums[i] 第 k 位，记为 dcounter[d]++;                // 统计数字 d 的出现次数}// 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”for (int i = 1; i < 10; i++) {counter[i] += counter[i - 1];}// 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 resint[] res = new int[n];for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {int d = digit(nums[i], exp);int j = counter[d] - 1; // 获取 d 在数组中的索引 jres[j] = nums[i];       // 将当前元素填入索引 jcounter[d]--;           // 将 d 的数量减 1}// 使用结果覆盖原数组 numsfor (int i = 0; i < n; i++)nums[i] = res[i];
}/* 基数排序 */
void radixSort(int[] nums) {// 获取数组的最大元素，用于判断最大位数int m = Integer.MIN_VALUE;for (int num : nums)if (num > m)m = num;// 按照从低位到高位的顺序遍历for (int exp = 1; exp <= m; exp *= 10) {// 对数组元素的第 k 位执行计数排序// k = 1 -> exp = 1// k = 2 -> exp = 10// 即 exp = 10^(k-1)countingSortDigit(nums, exp);}
}