【数据结构之栈的应用—中缀表达式转后缀表达式、前缀表达式】

一、栈的基础概念与实现

栈（Stack）是一种后进先出（LIFO, Last In First Out）的数据结构。它只允许在一端（称为栈顶）进行插入和删除操作。

1. 栈的基本操作

• Push: 将元素压入栈顶。
• Pop: 从栈顶弹出元素。
• Peek/Top: 获取栈顶元素但不删除。

2. 栈（C++）

#include <iostream>
#include <stack>
#include <string>int main() {std::stack<int> s;s.push(10);s.push(20);std::cout << "栈顶元素: " << s.top() << std::endl; // 输出 20s.pop();std::cout << "栈顶元素: " << s.top() << std::endl; // 输出 10return 0;
}

二、经典应用

1. 中缀表达式转后缀表达式

1.1 中缀与后缀表达式介绍

• 中缀表达式: 运算符位于两个操作数之间，例如A + B。
• 后缀表达式: 运算符位于操作数之后，例如AB+。这种表示法也称为逆波兰表示法（RPN, Reverse Polish Notation）。

1.2 转换步骤

1. 初始化两个栈: 运算符栈operatorStack和输出栈outputStack。
2. 遍历中缀表达式:
   • 遇到操作数时，将其直接添加到输出栈中。
   • 遇到左括号时，将其压入运算符栈。
   • 遇到右括号时，弹出运算符栈中的运算符并添加到输出栈中，直到遇到左括号为止。
   • 遇到运算符时，将其与运算符栈顶的运算符进行优先级比较。如果栈顶运算符优先级较高或相同，则将栈顶运算符弹出并添加到输出栈，重复此过程，直到栈为空或栈顶运算符优先级较低为止。然后，将当前运算符压入运算符栈。
3. 将剩余的运算符从运算符栈弹出并添加到输出栈。

1.3 代码实现（C++）

#include <iostream>
#include <stack>
#include <string>int precedence(char op) {if (op == '+' || op == '-') return 1;if (op == '*' || op == '/') return 2;return 0;
}std::string infixToPostfix(const std::string &exp) {std::stack<char> operatorStack;std::string output;for (char c : exp) {if (isalnum(c)) {output += c;  // 操作数直接添加到输出中} else if (c == '(') {operatorStack.push(c);} else if (c == ')') {while (!operatorStack.empty() && operatorStack.top() != '(') {output += operatorStack.top();operatorStack.pop();}operatorStack.pop();  // 弹出左括号} else {while (!operatorStack.empty() && precedence(operatorStack.top()) >= precedence(c)) {output += operatorStack.top();operatorStack.pop();}operatorStack.push(c);}}while (!operatorStack.empty()) {output += operatorStack.top();operatorStack.pop();}return output;
}int main() {std::string infix = "A+(B*C-(D/E^F)*G)*H";std::string postfix = infixToPostfix(infix);std::cout << "后缀表达式: " << postfix << std::endl;  // 输出 ABC*DEF^/G*-H*+return 0;
}

2. 中缀表达式转前缀表达式

2.1 前缀表达式介绍

• 前缀表达式: 运算符位于操作数之前，例如+AB。这种表示法也称为波兰表示法（PN, Polish Notation）。

2.2 转换步骤

1. 反转中缀表达式: 将中缀表达式中的操作数和运算符顺序反转，同时将左括号变为右括号，右括号变为左括号。
2. 将反转后的中缀表达式转换为后缀表达式。
3. 反转后缀表达式，得到的即为前缀表达式。

2.3 代码实现（C++）

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <stack>
#include <string>std::string infixToPrefix(const std::string &exp) {std::string reversedExp = exp;std::reverse(reversedExp.begin(), reversedExp.end());for (char &c : reversedExp) {if (c == '(') c = ')';else if (c == ')') c = '(';}std::string reversedPostfix = infixToPostfix(reversedExp);std::reverse(reversedPostfix.begin(), reversedPostfix.end());return reversedPostfix;
}int main() {std::string infix = "A+(B*C-(D/E^F)*G)*H";std::string prefix = infixToPrefix(infix);std::cout << "前缀表达式: " << prefix << std::endl;  // 输出 +A-*BC-/^DEF*GHreturn 0;
}