【二分查找 并集查找】P6004 [USACO20JAN] Wormhole Sort S|普及+

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P6004 [USACO20JAN] Wormhole Sort S

题目描述

Farmer John 的奶牛们已经厌倦了他对她们每天早上排好序离开牛棚的要求。她们刚刚完成了量子物理学的博士学位，准备将这一过程搞快点。

今天早上，如同往常一样，Farmer John 的 $N$ 头编号为 $1\dots N$ 的奶牛（$1\le N\le 10^5$），分散在牛棚中 $N$ 个编号为 $1\dots N$ 的不同位置，奶牛 $i$ 位于位置 $p_i$。但是今天早上还出现了 $M$ 个编号为 $1\dots M$ 的虫洞（$1\le M\le 10^5$），其中虫洞 $i$ 双向连接了位置 $a_i$ 和 $b_i$，宽度为 $w_i$（$1\le a_i,b_i\le N,a_i\ne b_i,1\le w_i\le 10^9$）。

在任何时刻，两头位于一个虫洞两端的奶牛可以选择通过虫洞交换位置。奶牛们需要反复进行这样的交换，直到对于 $1\le i\le N$，奶牛 $i$ 位于位置 $i$。

奶牛们不想被虫洞挤坏。帮助她们最大化被她们用来排序的虫洞宽度的最小值。保证奶牛们有可能排好序。

输入格式

输入的第一行包含两个整数 $N$ 和 $M$。

第二行包含 $N$ 个整数 $p_1,p_2,\dots ,p_N$。保证 $p$ 是 $1\dots N$ 的一个排列。

对于 $1$ 到 $M$ 之间的每一个 $i$，第 $i+2$ 行包含整数 $a_i,b_i,w_i$。

输出格式

输出一个整数，为在排序过程中奶牛必须挤进的虫洞的最小宽度的最大值。如果奶牛们不需要用任何虫洞来排序，输出 $-1$。

输入输出样例 #1

输入 #1

4 4
3 2 1 4
1 2 9
1 3 7
2 3 10
2 4 3

输出 #1

9

输入输出样例 #2

输入 #2

4 1
1 2 3 4
4 2 13

输出 #2

-1

说明/提示

样例解释 1

以下是一个仅用宽度至少为 9 的虫洞给奶牛排序的可能方案：

• 奶牛 1 和奶牛 2 使用第三个虫洞交换位置。
• 奶牛 1 和奶牛 3 使用第一个虫洞交换位置。
• 奶牛 2 和奶牛 3 使用第三个虫洞交换位置。

子任务

• 测试点 $3\sim 5$ 满足 $N,M\le 1000$。
• 测试点 $6\sim 10$ 没有额外限制。

[USACO20JAN] Wormhole Sort S

典型的最小值最大化。
边p[i]到i组成的有向图G。有如下性质：
性质一：出度、入度都是1。出发地和目的地一一对应，任意出发地只有一头牛，任意目的地只有一头牛到达。
性质二：任意点都在环上。否则无法出度和入度都不是0。
性质三：环之间不连通，或者出度或入度大于1。
不失一般性，假定某个环依次是：i1,i2,i3,i4。
如果本题有解，i1通过若干个虫洞必须能到达i2，i2到i3,i3到i4,i4到i1也是。即i1,i2,i3,i4在同一个连通区域。
如果i1,i2,i3,i4在一个连通区域，则i1能到到达i2,i2能够到达i3,i3能够到达i4,i4能够到达i1。
本题$⟺$ 将宽度大于等于mid的虫洞连通后，i1,i2,i3,i4在一个联通区域。
二分之，二分类型：寻找尾端。
参数范围：[1,虫洞的最大宽度]
如果初始状态下，都是自环，即n个连通区域，则返回-1。

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>#include <bitset>
using namespace std;template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {in >> pr.first >> pr.second;return in;
}template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);return in;
}template<class T = int>
vector<T> Read() {int n;cin >> n;vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {vector<T> ret;T tmp;while (cin >> tmp){ret.emplace_back(tmp);if ('\n' == cin.get()) { break; }} return ret;
}template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:COutBuff() {m_p = puffer;}template<class T>void write(T x) {int num[28], sp = 0;if (x < 0)*m_p++ = '-', x = -x;if (!x)*m_p++ = 48;while (x)num[++sp] = x % 10, x /= 10;while (sp)*m_p++ = num[sp--] + 48;AuotToFile();}void writestr(const char* sz) {strcpy(m_p, sz);m_p += strlen(sz);AuotToFile();}inline void write(char ch){*m_p++ = ch;AuotToFile();}inline void ToFile() {fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);m_p = puffer;}~COutBuff() {ToFile();}
private:inline void AuotToFile() {if (m_p - puffer > N - 100) {ToFile();}}char  puffer[N], * m_p;
};template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:inline CInBuff() {}inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {FileToBuf();ch = *S++;return *this;}inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {FileToBuf();int x(0), f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		return *this;}inline CInBuff& operator>>(long long& val) {FileToBuf();long long x(0); int f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行return *this;}template<class T1, class T2>inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {*this >> val.first >> val.second;return *this;}template<class T1, class T2, class T3>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);return *this;}template<class T1, class T2, class T3, class T4>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);return *this;}template<class T = int>inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {int n;*this >> n;val.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> val[i];}return *this;}template<class T = int>vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> ret[i];}return ret;}template<class T = int>vector<T> Read() {vector<T> ret;*this >> ret;return ret;}
private:inline void FileToBuf() {const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);if (canRead >= 100) { return; }if (m_bFinish) { return; }for (int i = 0; i < canRead; i++){buffer[i] = S[i];//memcpy出错			}m_iWritePos = canRead;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }m_iWritePos += readCnt;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;}int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;char buffer[N + 10], * S = buffer;
};class KMP
{
public:virtual int Find(const string& s, const string& t){CalLen(t);for (int i1 = 0, j = 0; i1 < s.length(); ){for (; (j < t.length()) && (i1 + j < s.length()) && (s[i1 + j] == t[j]); j++);//i2 = i1 + j 此时s[i1,i2)和t[0,j)相等 s[i2]和t[j]不存在或相等//t[0,j)的结尾索引是j-1，所以最长公共前缀为m_vLen[j-1]，简写为y 则t[0,y)等于t[j-y,j)等于s[i2-y,i2)if (0 == j){i1++;continue;}const int i2 = i1 + j;j = m_vLen[j - 1];i1 = i2 - j;//i2不变}return -1;}//vector<int> m_vSameLen;//m_vSame[i]记录 s[i...]和t[0...]最长公共前缀，增加可调试性 部分m_vSameLen[i]会缺失//static vector<int> Next(const string& s)//{// j = vNext[i] 表示s[0,i]的最大公共前后缀是s[0,j]//	const int len = s.length();//	vector<int> vNext(len, -1);//	for (int i = 1; i < len; i++)//	{//		int next = vNext[i - 1];//		while ((-1 != next) && (s[next + 1] != s[i]))//		{//			next = vNext[next];//		}//		vNext[i] = next + (s[next + 1] == s[i]);//	}//	return vNext;//}const vector<int> CalLen(const string& str){m_vLen.resize(str.length());for (int i = 1; i < str.length(); i++){int next = m_vLen[i - 1];while (str[next] != str[i]){if (0 == next){break;}next = m_vLen[next - 1];}m_vLen[i] = next + (str[next] == str[i]);}return m_vLen;}
protected:int m_c;vector<int> m_vLen;//m_vLen[i] 表示str[0,i]的最长公共前后缀的长度
};class CUnionFind
{
public:CUnionFind(int iSize) :m_vNodeToRegion(iSize){for (int i = 0; i < iSize; i++){m_vNodeToRegion[i] = i;}m_iConnetRegionCount = iSize;}CUnionFind(vector<vector<int>>& vNeiBo) :CUnionFind(vNeiBo.size()){for (int i = 0; i < vNeiBo.size(); i++) {for (const auto& n : vNeiBo[i]) {Union(i, n);}}}int GetConnectRegionIndex(int iNode){int& iConnectNO = m_vNodeToRegion[iNode];if (iNode == iConnectNO){return iNode;}return iConnectNO = GetConnectRegionIndex(iConnectNO);}void Union(int iNode1, int iNode2){const int iConnectNO1 = GetConnectRegionIndex(iNode1);const int iConnectNO2 = GetConnectRegionIndex(iNode2);if (iConnectNO1 == iConnectNO2){return;}m_iConnetRegionCount--;if (iConnectNO1 > iConnectNO2){UnionConnect(iConnectNO1, iConnectNO2);}else{UnionConnect(iConnectNO2, iConnectNO1);}}bool IsConnect(int iNode1, int iNode2){return GetConnectRegionIndex(iNode1) == GetConnectRegionIndex(iNode2);}int GetConnetRegionCount()const{return m_iConnetRegionCount;}vector<int> GetNodeCountOfRegion()//各联通区域的节点数量{const int iNodeSize = m_vNodeToRegion.size();vector<int> vRet(iNodeSize);for (int i = 0; i < iNodeSize; i++){vRet[GetConnectRegionIndex(i)]++;}return vRet;}std::unordered_map<int, vector<int>> GetNodeOfRegion(){std::unordered_map<int, vector<int>> ret;const int iNodeSize = m_vNodeToRegion.size();for (int i = 0; i < iNodeSize; i++){ret[GetConnectRegionIndex(i)].emplace_back(i);}return ret;}
private:void UnionConnect(int iFrom, int iTo){m_vNodeToRegion[iFrom] = iTo;}vector<int> m_vNodeToRegion;//各点所在联通区域的索引,本联通区域任意一点的索引，为了增加可理解性，用最小索引int m_iConnetRegionCount;
};template<class INDEX_TYPE>
class CBinarySearch
{
public:CBinarySearch(INDEX_TYPE iMinIndex, INDEX_TYPE iMaxIndex, INDEX_TYPE tol = 1) :m_iMin(iMinIndex), m_iMax(iMaxIndex), m_iTol(tol) {}template<class _Pr>INDEX_TYPE FindFrist(_Pr pr){auto left = m_iMin - m_iTol;auto rightInclue = m_iMax;while (rightInclue - left > m_iTol){const auto mid = left + (rightInclue - left) / 2;if (pr(mid)){rightInclue = mid;}else{left = mid;}}return rightInclue;}template<class _Pr>INDEX_TYPE FindEnd(_Pr pr){INDEX_TYPE leftInclude = m_iMin;INDEX_TYPE right = m_iMax + m_iTol;while (right - leftInclude > m_iTol){const auto mid = leftInclude + (right - leftInclude) / 2;if (pr(mid)){leftInclude = mid;}else{right = mid;}}return leftInclude;}
protected:const INDEX_TYPE m_iMin, m_iMax, m_iTol;
};class Solution {
public:int Ans(vector<int>& vp, vector<tuple<int, int, int>>& edge) {const int N = vp.size();CUnionFind uf(N);for (int i = 0; i < N; i++) {uf.Union(vp[i] - 1, i);}if (uf.GetConnetRegionCount() == N) { return -1; }auto m = uf.GetNodeOfRegion();auto Check = [&](int mid) {CUnionFind uf2(N);for (const auto& [u, v, w] : edge) {if (w < mid) { continue; }uf2.Union(u - 1, v - 1);}for (const auto& [tmp, v] : m) {for (int i = 1; i < v.size(); i++) {if (!uf2.IsConnect(v[0], v[i])) { return false; }}}return true;};return CBinarySearch<int>(1, 1e9).FindEnd(Check);}
};int main() {
#ifdef _DEBUGfreopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	ios::sync_with_stdio(0);int n,m; cin >> n >> m;auto vp = Read<int>(n);auto edge = Read<tuple<int, int, int>>(m);#ifdef _DEBUG		//printf("M=%d", m);	Out(vp, ",vp=");Out(edge, "v=");//Out(edge2, ",edge2=");/*Out(que, "que=");*/
#endif // DEBUG	auto res = Solution().Ans(vp,edge);cout << res << "\n";return 0;
}

单元测试

	vector<int> vp			;vector<tuple<int, int, int>> edge;TEST_METHOD(TestMethod11){vp = { 3,2,1,4 },edge = { {1,2,9},{1,3,7},{2,3,10},{2,4,3} };auto res = Solution().Ans(vp,edge);AssertEx(9, res);}TEST_METHOD(TestMethod12){vp = { 1,2,3,4 }, edge = { {4,2,13} };auto res = Solution().Ans(vp, edge);AssertEx(-1, res);}

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。