为了使生产过程稳定，达到优质、高产，需要对影响产品质量的因素进 行分析，找出有显著影响的那些因素，除了从机理方面进行研究外，常常要作许多试验， 对结果作分析、比较，寻求规律。用数理统计分析试验结果、鉴别各因素对结果影响程 度的方法称为方差分析（Analysis Of Variance），记作 ANOVA。
试验结果称为指标，试验中需要考察、可以控制的条件称为因素或因子，因素所处的状态称为水平。根据因素个数可以分为：单因素方差分析和双因素方差分析。
目录
1.单因素方差分析
1.1数学模型
1.2 统计分析
1.3 方差分析表
1.4 Matlab 实现
（1）均衡数据
（2）非均衡数据
1.5 多重比较
2. 双因素方差分析
2.1 数学模型
2.2 无交互影响的双因素方差分析
编辑 2.3 关于交互效应的双因素方差分析
2.4 Matlab 实现
1.单因素方差分析
只考虑一个因素 A 对所关心的指标的影响， A 取几个水平，在每个水平上作若干个试验，试验过程中除 A 外其它影响指标的因素都保持不变（只有随机因素存在），我们的任务是从试验结果推断，因素 A 对指标有无显著影响，即当 A 取不同水平时指标有无显著差别。 A 取某个水平下的指标视为随机变量，判断 A 取不同水平时指标有无显著差别， 相当于检验若干总体的均值是否相等。
1.1数学模型
1.2 统计分析
由卡方分布的可加性得：
1.3 方差分析表
方差分析一般用的显著性水平是：取α = 0.01，拒绝 H0 ，称因素 A 的影响（或 A 各水平的差异）非常显著；取α = 0.01，不拒绝 H0 ，但取α = 0.05 ，拒绝 H0 ，称因 素 A 的影响显著；取α = 0.05 ，不拒绝 H0 ，称因素 A 无显著影响。
1.4 Matlab 实现
Matlab 统计工具箱中单因素方差分析的命令是 anoval。 若各组数据个数相等，称为均衡数据。若各组数据个数不等，称非均衡数据。
（1）均衡数据
处理均衡数据的用法为： p=anoval(x)
返回值 p 是一个概率，当 p > α 时接受 H0 ，x 为m× r 的数据矩阵，x 的每一列是一个 水平的数据（这里各个水平上的样本容量 ni = m ）。另外，还输出一个方差表和一个 Box 图。
示例：
x=[256 254 250 248 236 242 330 277 280 252 280 290 230 305 220 298 295 302 289 252];
p=anova1(x) 
得 p = 0.1109 >α = 0.05，故不能拒绝原假设，接受H0，即 5 名工人的生产率没有显著差异。
方差表对应于上面的单因素方差分析表的1 ~ 4 列，F = 2.262 是 F(4,15) 分布的1− p 分 位数，可以验证 fcdf(2.262,4,15)=0.8891=1-p。
Box 图反映了5个工人生产率数据的特征。
（2）非均衡数据
处理非均衡数据的用法为： p=anova1(x,group)
x 为向量，从第 1 组到第 r 组数据依次排列；group 为与 x 同长度的向量，标志 x 中数 据的组别。
示例：
clc,clear;
x=[1620 1580 1460 1500 1670 1600 1540 1550 1700 1640 1620 1610 1750 1720 1680 1800];
x=[x(1:4),x(16),x(5:8),x(9:11),x(12:15)];
g=[ones(1,5),2*ones(1,4),3*ones(1,3),4*ones(1,4)];
p=anova1(x,g) 
求得：p=0.0331<0.05，所以几种工艺制成的灯泡寿命有显著差异。
1.5 多重比较
在灯泡寿命问题中，为了确定哪几种工艺制成的灯泡寿命有显著差异，我们先算出各组数据的均值：
虽然 A1 的均值最大，但要判断它与其它几种有显著差异，还需做多重比较。一般多重比较要对所有 r 个总体作两两对比，分析相互间的差异。根据问题的具体情况可以减少对比次数。
clc,clear;
x=[1620 1580 1460 1500 1670 1600 1540 1550 1700 1640 1620 1610 1750 1720 1680 1800];
x=[x(1:4),x(16),x(5:8),x(9:11),x(12:15)];
g=[ones(1,5),2*ones(1,4),3*ones(1,3),4*ones(1,4)];
[p,t,st]=anova1(x,g)
[c,m,h,nms] = multcompare(st);
[nms num2cell(m)] 
2. 双因素方差分析
如果要考虑两个因素 A,B 对指标的影响， A,B 各划分几个水平，对每一个水平组 合作若干次试验，对所得数据进行方差分析，检验两因素是否分别对指标有显著影响， 或者还要进一步检验两因素是否对指标有显著的交互影响。
2.1 数学模型
2.2 无交互影响的双因素方差分析
如果根据经验或某种分析能够事先判定两因素之间没有交互影响，每组试验就不必重复，即可令
t = 1，过程大为简化。
无交互效应的两因素方差分析表：
2.3 关于交互效应的双因素方差分析
关于交互效应的两因素方差分析表：
2.4 Matlab 实现
统计工具箱中用 anova2 作双因素方差分析。
命令为 ：p=anova2(x,reps)
其中 x 不同列的数据表示单一因素的变化情况，不同行中的数据表示另一因素的变化情况。如果每种行—列对（“单元”）有不止一个的观测值，则用参数 reps 来表明每个“单元”多个观测值的不同标号，即 reps 给出重复试验的次数t 。
x=[58.2 56.2 65.3
49.1 54.1 51.6
60.1 70.9 39.2
75.8 58.2 48.7];
[p,t,st]=anova2(x) 
求得p=0.4491 0.7387，表明各种燃料和各种推进器之间的差异对于火箭射程无显著影响。
clc,clear
x0=[58.2,52.6 56.2,41.2 65.3,60.8
49.1,42.8 54.1,50.5 51.6,48.4
60.1,58.3 70.9,73.2 39.2,40.7
75.8,71.5 58.2,51.0 48.7,41.4];
x1=x0(:,1:2:5);x2=x0(:,2:2:6);
for i=1:4 x(2*i-1,:)=x1(i,:); x(2*i,:)=x2(i,:);
end
[p,t,st]=anova2(x,2)
求得 p=0.0035 0.026 0.0001，均小于0.05，故可拒绝均值相等假设。即认为不同燃料（因素 A ）、不同推进器（因素 B ）下的射程有显著差异，交互作用也是显著的。
