- 第一章、函数、极限、连续
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目录
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第一节、函数
（一）函数概念及常见函数
函数概念
2.复合函数
3.反函数
4.初等函数
(二)函数的性质
1.单调性
2.奇偶性
3.周期性
4.有界性
第二节 极限
（一）极限的概念
1.数列的极限
2.函数的极限
3、函数极限与数列极限的关系
（二）极限的性质
1.有界性
2.保号性
3.极限值与无穷小之间的关系编辑
(三)极限存在准则
夹逼准则(n项和)编辑
单调有界准则（递推Xn+1=f(Xn） )
（二）无穷小量
无穷小量的概念
2.无穷小的比较
3.无穷小的性质
（三）无穷大量
无穷大量的概念
2.常用的一些无穷大量的比较⭐︎编辑
3.无穷大量的性质
4.无穷大量与无界变量之间的关系
4.无穷大量与无穷小量之间的关系
第一节、函数
（一）函数概念及常见函数
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函数概念
定义：如果对于每个数x∈D,变量y按照一定的法则f，总有一个确定的y和它对应，则称x是y的函数，记为y=f(x)
定义域：DF=D 值域：RF=f(D)={yly=f(x),x∈D}
2.复合函数
定义：设y=f(u)的定义域为DF,u=g(x)的定义域为D,值域为Rg,
若Dg∩Rg≠0，
则称函数y=f[g(x)]为函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数，它的定义域{x|x∈D,g(x)∈D}
3.反函数
定义：设函数y=f(x)的定义域为D,值域为R,有唯一确定的x∈D,使得y=f(x),则记为x=f-1(y),称其为y=f(x)的反函数。
tips：
①f与f-1关于y=x对称
②f单调且单射→f-1存在且单调（f与f-1单调性相同）
③若某奇函数存在反函数，则反函数也是奇函数
4.初等函数
定义将幂函数、指数、对数、三角和反三角统称为基本初等函数
(二)函数的性质
1.单调性
单调函数必有反函数，其反函数必为单调函数且具有相同的单调性。
2.奇偶性
奇+奇=奇；偶+偶=偶；奇×奇=偶；偶×偶=偶；奇×偶=奇
3.周期性
4.有界性
定义：若存在M>0,使得对任意的x∈X,恒有|f(x)≤M,则称f(x)在X上为有界函数如果对任意的M>0,至少存在一个x0∈X,使得f(xo)>M,则f(x)为X上的无界函数。
第二节 极限
（一）极限的概念
1.数列的极限
2.函数的极限
3、函数极限与数列极限的关系
（二）极限的性质
1.有界性
(1)(数列)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界
(2)(函数)如果limx→x0 f(x)存在，则f(x)在x0某去心领域有界（即局部有界）
2.保号性
3.极限值与无穷小之间的关系
(三)极限存在准则
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夹逼准则(n项和)
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单调有界准则（递推Xn+1=f(Xn） )
单调有界数列必有极限：
单调增、有上界的数列必有极限；单调减、有下界的数列必有极限。
（二）无穷小量
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无穷小量的概念
若函数f(x)当x→x0(或x→∞)时的极限为零，
则称f(x)为x→x0(或x→∞)时的无穷小量
2.无穷小的比较
设a(x)→0，B(x)→0
3.无穷小的性质
(1)有限个无穷小的和仍是无穷小
(2)有限个无穷小的积仍是无穷小
(3)无穷小量与有界量的积仍是无穷小
（三）无穷大量
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无穷大量的概念
若函数f(x)当x→x0(或x→∞)时趋向于无穷，
则称f(x)为x→xo(或x→∞)时的无穷大量
即：若对任意给定的M>0,总存在δ>0，当0<|x-xo｜<δ时，恒有f(x)|>M
2.常用的一些无穷大量的比较⭐︎
3.无穷大量的性质
(1)两个无穷大量的积仍为无穷大量
(2)无穷大量与有界变量之和仍为无穷大量
4.无穷大量与无界变量之间的关系
(1)数列{xn}是无穷大量
所有M>0,存在N>0,当n>N时，恒有|xn|>M
(2)数列{xn}是无界变量
所有M>0,存在N>0，使|x|>M
无穷大量→无界变量
4.无穷大量与无穷小量之间的关系
在同一极限过程中，如果f(x)是无穷大，则1/(x)是无穷小；
反之，如果f(x)是无穷小，且f(x)≠0，则1/(x)可是无穷大
