数学运用 -- 使用最小二乘与勒让德多项式拟合离散数据

使用最小二乘与勒让德多项式拟合离散数据

1. 准备离散数据

假设我们有以下离散数据集：

$x$	$y$
0.0	1.0
0.5	0.8
1.0	0.5
1.5	0.2
2.0	-0.1

我们想用勒让德多项式拟合这些数据，并通过最小二乘法找到勒让德多项式的系数。

2. 勒让德多项式

勒让德多项式的前几项为：

• $P_0(x)=1$
• $P_1(x)=x$
• $P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1)$
• $P_3(x)=\frac{1}{2}(5x^3-3x)$
• $P_4(x)=\frac{1}{8}(35x^4-30x^2+3)$

3. 最小二乘法拟合

为了拟合勒让德多项式，我们需要使用最小二乘法来找到数据集的最优拟合系数。设我们使用前4阶的勒让德多项式，即：

$$f(x)=c_0{P}_0(x)+c_1{P}_1(x)+c_2{P}_2(x)+c_3{P}_3(x)$$

其中 $c_0,c_1,c_2,c_3$ 是待求的系数。

4. 构建矩阵并解方程

构建矩阵 $A$，其中每一列是勒让德多项式在数据点 $x_i$ 处的值：

$$A=\left[\begin{array}{cccc}{P}_0(0.0)& P_1(0.0)& P_2(0.0)& P_3(0.0)\\ P_0(0.5)& P_1(0.5)& P_2(0.5)& P_3(0.5)\\ P_0(1.0)& P_1(1.0)& P_2(1.0)& P_3(1.0)\\ P_0(1.5)& P_1(1.5)& P_2(1.5)& P_3(1.5)\\ P_0(2.0)& P_1(2.0)& P_2(2.0)& P_3(2.0)\end{array}\right]$$

代入勒让德多项式的表达式：

$$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 0.0& -0.5& 0.0\\ 1& 0.5& -0.125& -0.4375\\ 1& 1.0& 0.5& -0.5\\ 1& 1.5& 1.375& -0.9375\\ 1& 2.0& 2.5& -1.0\end{array}\right]$$

然后，构建 $y$ 向量：

$$y=\left[\begin{array}{c}1.0\\ 0.8\\ 0.5\\ 0.2\\ -0.1\end{array}\right]$$

5. 计算最小二乘解

最小二乘法要求我们解方程：

$$A^{T}Ac=A^{T}y$$

其中 $c$ 是待求的系数向量：

$$c=\left[\begin{array}{c}{c}_0\\ c_1\\ c_2\\ c_3\end{array}\right]$$

6. PYTHON代码及输出结果

import numpy as np# 定义勒让德多项式的矩阵 A
A = np.array([[1, 0.0, -0.5, 0.0],[1, 0.5, -0.125, -0.4375],[1, 1.0, 0.5, -0.5],[1, 1.5, 1.375, -0.9375],[1, 2.0, 2.5, -1.0]
])# 定义观测的 y 值
y = np.array([1.0, 0.8, 0.5, 0.2, -0.1])# 使用最小二乘法求解勒让德多项式的系数
c, residuals, rank, s = np.linalg.lstsq(A, y, rcond=None)# 输出结果
print("勒让德多项式的系数为：", c)
print("残差：", residuals)

得到勒让德多项式的系数为：
勒让德多项式的系数为： [ 0.7952381 0.06507937 -0.57301587 -0.06349206] 残差： [0.00634921]

7. 解释结果

• 勒让德多项式的系数 $c_0\approx 0.795$，$c_1\approx 0.065$，$c_2\approx -0.573$，$c_3\approx -0.063$。
• 残差很小，表示拟合的效果较好。

通过最小二乘法拟合了一组离散数据，得到了勒让德多项式的系数。