【高等代数笔记】线性空间（五-九）

3. 线性空间

主线任务：研究线性空间和它的子空间的结构

研究平面$\pi$上向量共线与不共线的问题：$\vec{c}$与$\vec{a}\ne 0$共线$\vec{c}=\lambda \vec{a}\iff \lambda \in \mathbb{R}\iff -\lambda \vec{a}+1\vec{c}=\vec{0}$；
$\vec{a}$与$\vec{c}\ne \vec{0}$共线$\iff \vec{a}=\mu \vec{c}\iff 1\vec{a}-\mu \vec{c}=\vec{0}$
从而$\vec{c}$与$\vec{a}$共线$\iff$有不全为零的实数$k_1,k_2$使得$k_1\vec{c}+k_2\vec{a}=\vec{0}$
$\vec{c}$与$\vec{a}$不共线$\iff$从$k_1\vec{c}+k_2\vec{a}=\vec{0}$可推出$k_1=0,k_2=0$
对于共线，起个名字叫线性相关，对于不共线，起个名字叫线性无关。

3.6 线性相关与线性无关的向量组

【定义1】设$\text{V}$是数域$\text{K}$上的一个线性空间，$\text{V}$中的一个向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s(s\ge 1)$，如果有$\text{K}$中不全为0的数$k_1,k_2,...,k_s$，使得$k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+...+k_s{\mathbf{\alpha }}_s=0$，称向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$线性相关；否则，就称向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$线性无关，即如果从$k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+...+k_s{\mathbf{\alpha }}_s=0$可以推出$k_1=k_2=...=k_s=0$，那么向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$线性无关。

3.7 线性相关与线性无关与方程组的关系

（1）

• ${\text{K}}^s$中，列向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$线性相关$\iff$有$\text{K}$中不全为0的数$c_1,c_2,...,c_n$使得$c_1{\mathbf{\alpha }}_1+c_2{\mathbf{\alpha }}_2+...+c_s{\mathbf{\alpha }}_s=0\Rightarrow \text{K}$上$n$元齐次线性方程组$x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+...+x_s{\mathbf{\alpha }}_s=0$有非零解。
• ${\text{K}}^s$中，列向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$线性无关$\iff$齐次线性方程组$x_1{\mathbf{\alpha }}_1+x_2{\mathbf{\alpha }}_2+...+x_s{\mathbf{\alpha }}_s=0$只有零解。
  （2）
• ${\text{K}}^n$中，列向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_n$线性相关$\iff$以${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_n$为列向量组的矩阵$\mathbf{A}$的行列式等于0（$|\mathbf{A}|=0$）。
• ${\text{K}}^n$中，列向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_n$线性无关$\iff$以${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_n$为列向量组的矩阵$\mathbf{A}$的行列式不等于0（$|\mathbf{A}|\ne 0$）。
  行向量组也有上述结论，把上述的列向量字样改成行向量字样一样成立。

3.8 线性相关与线性无关的向量组

设$\text{V}$是数域$\text{K}$上的一个线性空间，
（1）$\mathbf{\alpha }$（单个向量的向量组）线性相关$\iff$有$k\ne 0$使得$k\mathbf{\alpha }=0\iff \mathbf{\alpha }=0$
从而$\mathbf{\alpha }$（单个向量的向量组）线性无关$\iff \mathbf{\alpha }\ne 0$；
（2）若向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$如果有一个部分组（向量组中的一部分向量组成的向量组）线性相关，那么整个向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$线性相关；
从而向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$如果线性无关，那么${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$任何一个部分组都线性无关；
（3）含有零向量的任何一个向量组都线性相关。
（4）向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s(s\ge 2)$线性相关$\iff$其中至少有一个向量可以由其余的向量线性表出。

【证】$\Rightarrow$，由线性相关的定义，有$\text{K}$中一组不全为零的数$k_1,k_2,...,k_s$使得$k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+...+k_s{\mathbf{\alpha }}_s=0$,(1)
设$k_i\ne 0$，由(1)式得${\mathbf{\alpha }}_i=-\frac{k_1}{k_i}{\mathbf{\alpha }}_1-...-\frac{k_{i-1}}{k_i}{\mathbf{\alpha }}_{i-1}-\frac{k_{i+1}}{k_i}{\mathbf{\alpha }}_{i+1}-...-\frac{k_s}{k_i}{\mathbf{\alpha }}_s$
$\Leftarrow$，设${\mathbf{\alpha }}_j=l_1{\mathbf{\alpha }}_1+...+l_{j-1}{\mathbf{\alpha }}_{j-1}+l_{j+1}{\mathbf{\alpha }}_{j+1}+...+l_s{\mathbf{\alpha }}_s$
则$0=l_1{\mathbf{\alpha }}_1+...+l_{j-1}{\mathbf{\alpha }}_{j-1}-{\mathbf{\alpha }}_j+l_{j+1}{\mathbf{\alpha }}_{j+1}+...+l_s{\mathbf{\alpha }}_s$
因此${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$线性相关。
从而向量组

${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$线性无关$\iff$其中每一个向量都不能由其余向量线性表出。


【命题1】设$\mathbf{\beta }$可以由向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$线性表出，则表出方式唯一$\iff {\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$线性无关

【证】$\Leftarrow$，设$\mathbf{\beta }=a_1{\mathbf{\alpha }}_1+a_2{\mathbf{\alpha }}_2+...+a_s{\mathbf{\alpha }}_s$
用反证法，若还有另一种表出方式$\mathbf{\beta }=b_1{\mathbf{\alpha }}_1+b_2{\mathbf{\alpha }}_2+...+b_s{\mathbf{\alpha }}_s$
两式相减得$0=(a_1-b_1){\mathbf{\alpha }}_1+(a_2-b_2){\mathbf{\alpha }}_2+...+(a_s-b_s){\mathbf{\alpha }}_s$(2)
由于向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$线性无关，因此从(2)式，$a_1-b_1=0,...,a_s-b_s=0$即$a_1=b_1,...,a_s=b_s$，因此$\mathbf{\beta }$由向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$线性表出得方式唯一。


$\Rightarrow$，假如${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$线性相关，则有$\text{K}$中一组不全为0的数$k_1,...,k_s$使得$0=k_1{\mathbf{\alpha }}_1+...+k_s{\mathbf{\alpha }}_s$，由已知$\mathbf{\beta }=a_1{\mathbf{\alpha }}_1+a_2{\mathbf{\alpha }}_2+...+a_s{\mathbf{\alpha }}_s$(3)，两式相加得，$\mathbf{\beta }=(a_1+k_1){\mathbf{\alpha }}_1+...+(a_s+k_s){\mathbf{\alpha }}_s$(4)，
由于$k_1,...,k_s$不全为0，因此$(k_1+a_1,...,k_s+a_s)\ne (a_1,..,a_s)$（至少有一个分量不相等）
从而$\mathbf{\beta }$至少有两种不同得方式由${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$线性表出，与已知条件表出方式唯一矛盾，因此${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$线性无关

【命题2】设向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$线性无关，如果将$\mathbf{\beta }$添加到上述向量组成为一个新的向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s,\mathbf{\beta }$，这个新的向量组如果线性相关，那么$\beta$可以由向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$线性表出。

【证】由于${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s,\mathbf{\beta }$线性相关，因此有数域$\text{K}$中一组不全为0得数$k_1,k_2,...,k_s,l$，使得$k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+...+k_s{\mathbf{\alpha }}_s+l\mathbf{\beta }=0$…(5)
用反证法，假设$l=0$，从(5)式得
$k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+...+k_s{\mathbf{\alpha }}_s+0=0$，由于此时$k_1,...,k_s$不全为0，因此${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$线性相关与已知条件的线性无关矛盾，则$l\ne 0$
于是在(5)式两边除$l$得到$\mathbf{\beta }=-\frac{k_1}{l}{\mathbf{\alpha }}_1-\frac{k_2}{l}{\mathbf{\alpha }}_2-...-\frac{k_s}{l}{\mathbf{\alpha }}_s$

3.9 向量组的极大线性无关组

< α 1 , α 2 , . . . , α s > = { k 1 α 1 + k 2 α 2 + . . . + k s α s ∣ k i ∈ K , i = 1 , 2 , . . . , s } <\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}>=\{k_{1}\boldsymbol{\alpha}_{1}+k_{2}\boldsymbol{\alpha}_{2}+...+k_{s}\boldsymbol{\alpha}_{s}|k_{i}\in\textbf{K},i=1,2,...,s\} <α1​,α2​,...,αs​>={k1​α1​+k2​α2​+...+ks​αs​∣ki​∈K,i=1,2,...,s}
当${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$线性相关时，部分组线性无关，添一个进来就相关了，这个不分组就是极大线性无关组。

【定义1】向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$的一个部分组称为这个向量组的一个极大线性无关组。
如果这个部分组满足：
（1）这个部分组线性无关；
（2）从向量组的其余向量组（如果有的话）中任取一个添加进来，得到的新的部分组，都是线性相关的；
那么这个部分组就是这个向量组的一个极大线性无关组。

平面$\pi$上的向量组$\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}$如图所示，$\vec{a},\vec{b}$线性无关，将$\vec{c}$添加到$\vec{a},\vec{b}$中，$\vec{c}$由$\vec{a},\vec{b}$线性表出，则$\vec{a},\vec{b}$是整个向量组的一个极大线性无关组。
同理$\vec{a},\vec{c}$也是一个极大线性无关组
$\vec{b},\vec{c}$也是一个极大无关组
……
极大线性无关组不唯一

3.10 向量组的等价与性质

• 极大线性无关组中的每一个向量都可以由原向量组线性表出。整个向量组中每一个向量都可以由极大线性无关组线性表出。若向量组
  【证】设向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$的一个极大线性无关组（不妨设为${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_m,m\le s$）
  由于${\mathbf{\alpha }}_j=0{\mathbf{\alpha }}_1+...+0{\mathbf{\alpha }}_{j=1}+1{\mathbf{\alpha }}_j+0{\mathbf{\alpha }}_{j+1}+...+0{\mathbf{\alpha }}_s$
  因此${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_m$中每一个向量都可以由向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$线性表出。
  反之，${\mathbf{\alpha }}_i(1\le i\le m)$可以由${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_m$线性表出
  ${\mathbf{\alpha }}_j(m\le j\le s)$
  由于在极大线性无关组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_m$将${\mathbf{\alpha }}_j(m\le j\le s)$添加进来后的向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_m,{\mathbf{\alpha }}_j$线性相关，极大线性无关组本身线性无关，那么${\mathbf{\alpha }}_j$可由极大线性无关组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_m$线性表出
  因此${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$都可以由极大线性无关组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_m$线性表出。

• （向量组可以由向量组线性表出）${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$中每一个向量都可以由向量组${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,...,{\mathbf{\beta }}_r$线性表出，则称${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$可以由${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,...,{\mathbf{\beta }}_r$线性表出。

• 若向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$和${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,...,{\mathbf{\beta }}_r$可以互相线性表出，称这两个向量组为等价向量组。此时记作 { α 1 , α 2 , . . . , α s } ≅ { β 1 , β 2 , . . . , β r } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}\}\cong\{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},...,\boldsymbol{\beta}_{r}\} {α1​,α2​,...,αs​}≅{β1​,β2​,...,βr​}.
  由上述讨论证明了：
  【命题1】向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$和它的任意一个极大线性无关组等价。

性质：
（1）每个向量组与自身等价（反身性）；
（2）若 { α 1 , α 2 , . . . , α s } ≅ { β 1 , β 2 , . . . , β r } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}\}\cong\{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},...,\boldsymbol{\beta}_{r}\} {α1​,α2​,...,αs​}≅{β1​,β2​,...,βr​}，则 { β 1 , β 2 , . . . , β r } ≅ { α 1 , α 2 , . . . , α s } \{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},...,\boldsymbol{\beta}_{r}\}\cong\{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}\} {β1​,β2​,...,βr​}≅{α1​,α2​,...,αs​}（对称性）
（3）若 { α 1 , α 2 , . . . , α s } ≅ { β 1 , β 2 , . . . , β r } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}\}\cong\{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},...,\boldsymbol{\beta}_{r}\} {α1​,α2​,...,αs​}≅{β1​,β2​,...,βr​}且 { β 1 , β 2 , . . . , β r } ≅ { γ 1 , γ 2 , . . . , γ t } \{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},...,\boldsymbol{\beta}_{r}\}\cong\{\boldsymbol{\gamma}_{1},\boldsymbol{\gamma}_{2},...,\boldsymbol{\gamma}_{t}\} {β1​,β2​,...,βr​}≅{γ1​,γ2​,...,γt​}，则 { α 1 , α 2 , . . . , α s } ≅ { γ 1 , γ 2 , . . . , γ t } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}\}\cong\{\boldsymbol{\gamma}_{1},\boldsymbol{\gamma}_{2},...,\boldsymbol{\gamma}_{t}\} {α1​,α2​,...,αs​}≅{γ1​,γ2​,...,γt​}（传递性）

【证】只要证线性表出具有传递性。
${\mathbf{\alpha }}_i=\sum _{j=1}^r{a}_{ij}{\mathbf{\beta }}_j,i=1,2,...,s$
${\mathbf{\beta }}_j=\sum _{l=1}^t{b}_{jl}{\mathbf{\gamma }}_l,j=1,2,...,r$
因此${\mathbf{\alpha }}_i=\sum _{j=1}^r{a}_{ij}(\sum _{l=1}^t{b}_{jl}{\mathbf{\gamma }}_l)=\sum _{j=1}^r(\sum _{l=1}^t{a}_{ij}{b}_{jl}{\mathbf{\gamma }}_l)=\sum _{l=1}^t\sum _{j=1}^r{a}_{ij}{b}_{jl}{\mathbf{\gamma }}_l=\sum _{l=1}^t(\sum _{j=1}^r{a}_{ij}{b}_{jl}){\mathbf{\gamma }}_l$
所以每一个${\mathbf{\gamma }}_l$可以由向量组 { α 1 , α 2 , . . . , α s } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}\} {α1​,α2​,...,αs​}线性表出。

由向量组等价的对称性和传递性得
【命题2】向量组 { α 1 , α 2 , . . . , α s } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}\} {α1​,α2​,...,αs​}的任意两个线性无关组等价。

3.11 向量组的秩Rank

平面$\pi$上有向量组$\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d},\vec{e}$五个向量，$\vec{c},\vec{d},\vec{e}$都可以由$\vec{a},\vec{b}$线性表示，所以$\vec{c},\vec{d},\vec{e}$线性相关，
【引理1】设向量组 { β 1 , β 2 , . . . , β r } \{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},...,\boldsymbol{\beta}_{r}\} {β1​,β2​,...,βr​}可以由向量组 { α 1 , α 2 , . . . , α s } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}\} {α1​,α2​,...,αs​}线性表出，如果$r>s$，那么 { β 1 , β 2 , . . . , β r } \{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},...,\boldsymbol{\beta}_{r}\} {β1​,β2​,...,βr​}一定线性相关。

【证】由已知，
$$\begin{gathered} {\mathbf{\beta }}_1=a_{11}{\mathbf{\alpha }}_1+a_{21}{\mathbf{\alpha }}_2+...+a_{s1}{\mathbf{\alpha }}_s \\ ... \\ {\mathbf{\beta }}_1=a_{1r}{\mathbf{\alpha }}_1+a_{2r}{\mathbf{\alpha }}_2+...+a_{sr}{\mathbf{\alpha }}_s \end{gathered}$$
$x_1{\mathbf{\beta }}_1+x_2{\mathbf{\beta }}_2+...+x_r{\mathbf{\beta }}_r=x_1(a_{11}{\mathbf{\alpha }}_1+a_{21}{\mathbf{\alpha }}_2+...+a_{s1}{\mathbf{\alpha }}_s)+...+x_r(a_{1r}{\mathbf{\alpha }}_1+a_{2r}{\mathbf{\alpha }}_2+...+a_{sr}{\mathbf{\alpha }}_s)=(a_{11}{x}_1+...+a_{1r}{x}_r){\mathbf{\alpha }}_1+...+(a_{s1}{x}_1+...+a_{sr}{x}_r){\mathbf{\alpha }}_s$(1)
考虑齐次线性方程组

$\{\begin{array}{c}{a}_{11}{x}_1+...+a_{1r}{x}_r=0\\ ...\\ a_{s1}{x}_1+...+a_{sr}{x}_r=0\end{array}$(2)
如果$s<r$，因此齐次线性方程组(2)必有非零解，取一个非零解$(k_1,...,k_r)$，利用(1),(2)式得$k_1{\mathbf{\beta }}_1+k_2{\mathbf{\beta }}_2+...+k_r{\mathbf{\beta }}_r=0$
因此 { β 1 , β 2 , . . . , β r } \{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},...,\boldsymbol{\beta}_{r}\} {β1​,β2​,...,βr​}一定线性相关。

【推论1】【引理1的逆否命题】设向量组 { β 1 , β 2 , . . . , β r } \{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},...,\boldsymbol{\beta}_{r}\} {β1​,β2​,...,βr​}可以由 { α 1 , α 2 , . . . , α s } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}\} {α1​,α2​,...,αs​}线性表出，如果 { β 1 , β 2 , . . . , β r } \{\boldsymbol{\beta}_{1},\boldsymbol{\beta}_{2},...,\boldsymbol{\beta}_{r}\} {β1​,β2​,...,βr​}线性无关，那么$r\le s$
【推论2】等价的线性无关的两个向量组（ { α 1 , α 2 , . . . , α s } ≅ { γ 1 , γ 2 , . . . , γ m } \{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}\}\cong\{\boldsymbol{\gamma}_{1},\boldsymbol{\gamma}_{2},...,\boldsymbol{\gamma}_{m}\} {α1​,α2​,...,αs​}≅{γ1​,γ2​,...,γm​}），它们所含向量的个数相等。

【证】由于${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$可由${\mathbf{\gamma }}_1,{\mathbf{\gamma }}_2,...,{\mathbf{\gamma }}_m$线性表出，${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$是线性无关的，因此$s\le m$，又由于${\mathbf{\gamma }}_1,{\mathbf{\gamma }}_2,...,{\mathbf{\gamma }}_m$可以由${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$线性表出，且${\mathbf{\gamma }}_1,{\mathbf{\gamma }}_2,...,{\mathbf{\gamma }}_m$也是线性无关的，则$m\le s$
所以$m=s$

【推论3】向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$的任意两个极大线性无关组所含向量的个数相等。（由推论2可得）
【定义】向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$得任意一个极大线性无关组所含向量的个数称为向量组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,...,{\mathbf{\alpha }}_s$的秩（Rank）。
单独规定，只含$0$的向量组的秩为0.
记作 rank { α 1 , α 2 , . . . , α s } \text{rank}\{\boldsymbol{\alpha}_{1},\boldsymbol{\alpha}_{2},...,\boldsymbol{\alpha}_{s}\} rank{α1​,α2​,...,αs​}