物理学基础精解【71】

随机过程

布朗运动

定义

布朗运动是指悬浮在液体或气体中的微粒所做的永不停息的无规则运动。这种运动最早由英国植物学家罗伯特·布朗在1827年观察悬浮在水中的花粉时发现，因此得名。布朗运动不是分子运动，而是分子运动对微粒集团的作用引起的结果，它间接地证实了分子的无规则热运动。

性质

1. 永不停息：只要液体或气体分子在不停地运动，就会不断地与微粒发生碰撞，从而使微粒保持永不停息的运动状态。
2. 无规则性：微粒的运动轨迹是随机的，无法预测。这是因为液体或气体分子的运动也是无规则的，它们对微粒的碰撞方向和大小都是随机的。
3. 温度影响：布朗运动的剧烈程度随着流体温度的升高而增加。液体温度越高，液体分子的运动越剧烈，对微粒的撞击力就越大，布朗运动也就越明显。
4. 微粒大小影响：颗粒越小，布朗运动越明显。这是因为固体颗粒越小，其受到液体分子撞击的不平衡性越大，且自身惯性也就越小，故运动变化越快。

数学原理

布朗运动的数学原理主要基于概率论和随机过程理论。布朗运动被视为一种连续时间的随机过程，其数学描述通常涉及随机微分方程、正态分布、鞅过程等概念。

公式

1. 布朗运动的定义公式：设{W(t), t≥0}是一个随机过程，如果它满足以下条件，则称为布朗运动：

   • W(0) = 0
   • 对于任意0≤s<t，增量W(t) - W(s)服从均值为0，方差为t-s的正态分布，即W(t) - W(s) ~ N(0, t-s)
   • 对于任意0≤s<t<u，增量W(t) - W(s)和W(u) - W(t)是相互独立的

2. 扩散方程：爱因斯坦证明了布朗运动的粒子浓度（概率密度）随时间的变化满足扩散方程。这个方程描述了粒子在空间中的扩散过程。

例子

• 在显微镜下观察悬浮在水中的藤黄粉、花粉微粒，或在无风情况下观察空气中的烟粒、尘埃时，都可以看到布朗运动的现象。

例题

例题：考虑一个一维布朗运动{W(t), t≥0}，已知W(1) = 1，求E[W(2)|W(1)]。

解答：由于布朗运动具有马尔可夫性质，即未来状态只依赖于当前状态而与过去状态无关，因此有E[W(2)|W(1)] = E[W(2) - W(1) + W(1)|W(1)]。由于W(2) - W(1)与W(1)独立，且W(2) - W(1)服从均值为0，方差为1的正态分布，所以E[W(2) - W(1)|W(1)] = E[W(2) - W(1)] = 0。因此，E[W(2)|W(1)] = E[W(1)] + 0 = W(1) = 1。

这个例题展示了如何利用布朗运动的马尔可夫性质来求解条件期望。在实际应用中，布朗运动的理论被广泛应用于金融数学、物理学、工程学等多个领域。

离散时间随机过程

定义

离散时间随机过程是指时间为离散的情况下的随机过程。具体来说，它是一系列随机变量在离散时间点上的集合。这些时间点通常是等间隔的，例如每秒钟、每分钟或每小时等。

性质

1. 状态空间：离散时间随机过程的状态空间是离散的，即随机变量可以取的值是有限的或可数无限的。
2. 马尔可夫性：许多离散时间随机过程具有马尔可夫性，即当前状态的概率分布仅依赖于前一个状态，而与之前的状态无关。
3. 平稳性：在某些情况下，离散时间随机过程的统计特性不随时间的推移而变化，这种过程被称为平稳随机过程。

数学原理与公式

1. 状态空间：离散时间随机过程的状态空间可以表示为$S=s1,s2,\cdots ,sN$，其中N为正整数或无穷大。
2. 状态转移概率：如果过程当前处于状态si，那么下一个时刻处于状态sj的概率为$P(X_{n+1}=j|X_n=i)$，这被称为状态转移概率。
3. 初始分布：离散时间随机过程的初始分布表示初始状态的概率分布，即$P(X_0=i)$。
4. 转移概率矩阵：对于具有马尔可夫性的离散时间随机过程，可以构造转移概率矩阵P，其中元素$p_{ij}$表示从状态i转移到状态j的概率。

例子

1. 天气情况：假设有一个随机过程描述某地区每天的天气情况，状态空间为{晴天,阴天,雨天,多云}。那么，这个过程就是一个离散时间随机过程，其中每个时间点（例如每天）的天气情况是一个随机变量。
2. 醉汉行走：考虑一个醉汉在离散时间点上的行走过程，他每次可以选择向左或向右走一步。这个过程也是一个离散时间随机过程，其中每个时间点醉汉的位置是一个随机变量。

例题

例题：考虑一个离散时间马尔可夫链，状态空间为{0,1}，转移概率矩阵为

$$P=\left(\begin{array}{cc}0.7& 0.3\\ 0.4& 0.6\end{array}\right)$$

假设初始分布为$$P(X_0=0)=0.5，P(X_0=1)=0.5$$。

1. 求n步转移概率矩阵P^n：

   • 这是一个典型的马尔可夫链问题，可以通过矩阵乘法来求解n步转移概率矩阵P^n。
   • 例如，当n=2时，P^2=P×P。

2. 求n步后的状态分布：

   • 初始分布为$$a^{(0)}=[0.5,0.5]$$。
   • n步后的状态分布可以通过初始分布与n步转移概率矩阵相乘得到，即$a^{(n)}=a^{(0)}\times P^n$。
   • 例如，当n=2时，$$a^{(2)}=[0.5,0.5]\times P^2$$。

求解离散时间随机过程

基本步骤

1. 定义状态空间：

   • 确定随机过程可能取的所有状态，这构成状态空间S。

2. 确定初始条件：

   • 给出随机过程在初始时刻（如n=0）的状态分布或具体状态。

3. 构造转移概率：

   • 对于马尔可夫链等具有特定性质的随机过程，需要构造转移概率矩阵或给出转移概率函数。

4. 应用数学工具：

   • 使用矩阵运算、概率论中的公式（如全概率公式、贝叶斯公式）或随机过程理论中的特定方法（如特征函数法、Z变换法）来求解。

5. 求解具体问题：

   • 根据具体问题的要求，求解特定时间点的状态分布、期望、方差或其他统计量。

例子：离散时间马尔可夫链

定义与初始条件

考虑一个离散时间马尔可夫链，状态空间为S={0,1}，初始分布为P(X_0=0)=0.5，P(X_0=1)=0.5。转移概率矩阵为

$$P=\left(\begin{array}{cc}0.7& 0.3\\ 0.4& 0.6\end{array}\right)$$

其中，$p_{ij}$表示从状态i转移到状态j的概率。

求解n步后的状态分布

1. n步转移概率矩阵：
   • 使用矩阵乘法计算P^n，即n步后的转移概率矩阵。
   • 例如，当n=2时，有

$$P^2=P\times P=\left(\begin{array}{cc}0.7& 0.3\\ 0.4& 0.6\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{cc}0.7& 0.3\\ 0.4& 0.6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0.7\times 0.7+0.3\times 0.4& 0.7\times 0.3+0.3\times 0.6\\ 0.4\times 0.7+0.6\times 0.4& 0.4\times 0.3+0.6\times 0.6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0.61& 0.39\\ 0.52& 0.48\end{array}\right)$$

2. n步后的状态分布：
   • 初始分布为a^{(0)}=[0.5,0.5]。
   • n步后的状态分布为a^{(n)}=a{(0)}\times P^n。
   • 例如，当n=2时，有

$$a^{(2)}=[0.5,0.5]\times \left(\begin{array}{cc}0.61& 0.39\\ 0.52& 0.48\end{array}\right)=[0.5\times 0.61+0.5\times 0.52,0.5\times 0.39+0.5\times 0.48]=[0.565,0.435]$$

这表示在进行了两步转移后，系统处于状态0的概率为0.565，处于状态1的概率为0.435。

求解其他统计量

根据需要，还可以进一步求解随机过程的期望、方差、自相关函数等统计量。这些求解通常涉及对状态分布或转移概率进行加权求和或积分等运算。

请注意，这个例子仅展示了如何求解离散时间马尔可夫链的状态分布。对于其他类型的离散时间随机过程（如随机游走、泊松过程等），求解方法可能会有所不同，但基本步骤和数学原理是相通的。

随机过程

定义

随机过程是一组依赖于时间参数t的随机变量{X(t), t∈T}，其中T是时间集合，可以是离散的（如整数集合）或连续的（如实数集合）。这些随机变量随时间的变化而变化，共同描述了某一随机现象的发展过程。

性质

1. 时间依赖性：随机过程的核心是随机变量随时间的变化。
2. 随机性：在每个时间点上，随机过程都有一个与之对应的随机变量，其取值是不确定的。
3. 统计规律性：尽管单个时间点的取值是不确定的，但随机过程的整体行为遵循一定的统计规律。

数学原理

随机过程的理论基础是概率论和数理统计。它通过研究随机变量的分布函数、数字特征（如均值、方差、协方差等）以及随机过程本身的统计特性（如平稳性、遍历性等）来揭示随机现象的内在规律。

公式

1. 均值函数：描述随机过程在各个时间点的平均取值情况，公式为E[X(t)]。
2. 方差函数：描述随机过程在各个时间点的波动情况，公式为D[X(t)]。
3. 协方差函数和相关函数：描述随机过程在不同时间点之间的相关性，公式分别为Cov[X(t1), X(t2)]和Corr[X(t1), X(t2)]。

例子

1. 股票价格模型：股票价格随时间的变化可以看作是一个随机过程。在这个例子中，时间集合T是连续的（如实数集合），状态空间S是离散的（如股票价格的可能取值）。
2. 布朗运动：布朗运动是描述微小粒子在液体中无规则运动的随机过程。在这个例子中，时间集合T是连续的，状态空间S也是连续的（如粒子的位置坐标）。

例题

例题：考虑一个离散时间随机过程{X_n, n=0,1,2,…}，其中X_n表示第n个时间点的随机变量。假设该随机过程是一个马尔可夫链，且具有以下转移概率矩阵：

$$P=\left(\begin{array}{ccc}0.5& 0.3& 0.2\\ 0.2& 0.6& 0.2\\ 0.3& 0.3& 0.4\end{array}\right)$$

其中，p_{ij}表示从状态i转移到状态j的概率。

1. 求n步转移概率矩阵P^n：

   • 使用矩阵乘法计算P^{n。例如，当n=2时，有P}2=P×P。

2. 假设初始分布为a^(0)=[0.4, 0.3, 0.3]，求n步后的状态分布a^(n)：

   • 使用初始分布与n步转移概率矩阵相乘得到n步后的状态分布，即$a^{(}n)=a^0\times P^n$。例如，当n=2时，有$a^2=[0.4,0.3,0.3]\times P^2$。

3. 求随机过程在第n个时间点的均值$E[X_n]$：

   • 首先需要知道每个状态对应的随机变量取值（这在实际问题中通常会给出）。然后，根据n步后的状态分布a^(n)和每个状态对应的取值计算均值，即$E[X_n]=\sum (a^{n_i}\times X_i)$，其中$X_i$表示状态i对应的随机变量取值。

请注意，上述例题仅展示了如何求解离散时间马尔可夫链的一些基本问题。对于更复杂的随机过程或具体问题，可能需要使用更高级的数学工具和方法进行求解。

参考文献

1. 文心一言