2748. 美丽下标对的数目

题目

给定一个下标从 0 开始的整数数组 nums。如果下标对 (i, j) 满足 0 ≤ i < j < nums.length，且 nums[i] 的第一个数字与 nums[j] 的最后一个数字互质，那么认为 nums[i] 和 nums[j] 是一组美丽下标对。

对于两个整数 x 和 y，如果不存在大于 1 的整数可以同时整除它们，则认为 x 和 y 互质。换句话说，如果 gcd(x, y) == 1，则认为 x 和 y 互质，其中 gcd(x, y) 是 x 和 y 的最大公因数。

返回 nums 中美丽下标对的总数目。

示例

示例 1：

输入：nums = [2,5,1,4]
输出：5
解释：
nums 中共有 5 组美丽下标对：
i = 0 和 j = 1 ：nums[0] 的第一个数字是 2 ，nums[1] 的最后一个数字是 5 。2 和 5 互质，因此 gcd(2,5) == 1 。
i = 0 和 j = 2 ：nums[0] 的第一个数字是 2 ，nums[2] 的最后一个数字是 1 。2 和 5 互质，因此 gcd(2,1) == 1 。
i = 1 和 j = 2 ：nums[1] 的第一个数字是 5 ，nums[2] 的最后一个数字是 1 。2 和 5 互质，因此 gcd(5,1) == 1 。
i = 1 和 j = 3 ：nums[1] 的第一个数字是 5 ，nums[3] 的最后一个数字是 4 。2 和 5 互质，因此 gcd(5,4) == 1 。
i = 2 和 j = 3 ：nums[2] 的第一个数字是 1 ，nums[3] 的最后一个数字是 4 。2 和 5 互质，因此 gcd(1,4) == 1 。
因此，返回 5。

示例 2：

输入：nums = [11,21,12]
输出：2
解释：
共有 2 组美丽下标对：
i = 0 和 j = 1 ：nums[0] 的第一个数字是 1 ，nums[1] 的最后一个数字是 1 。gcd(1,1) == 1 。
i = 0 和 j = 2 ：nums[0] 的第一个数字是 1 ，nums[2] 的最后一个数字是 2 。gcd(1,2) == 1 。
因此，返回 2。

提示：

2 <= nums.length <= 100
1 <= nums[i] <= 9999
nums[i] % 10 != 0

代码

为了找到所有美丽下标对，我们可以采用以下步骤：

1. 提取第一个和最后一个数字：

   • 对于每个数字 nums[i]，提取其第一个数字和最后一个数字。
   • 例如，对于 nums = [234, 567, 890]，提取后的第一个数字是 [2, 5, 8]，最后一个数字是 [4, 7, 0]。

2. 检查互质条件：

   • 对于每一对 (i, j)，检查 nums[i] 的第一个数字和 nums[j] 的最后一个数字是否互质。
   • 互质的判断通过最大公因数 (GCD) 是否为 1 来实现。

3. 计数美丽下标对：

   • 如果一对数字互质，则计数器加1。

完整代码

以下是基于上述思路的 C 语言代码实现：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>// 计算两个数的最大公因数， 因本题仅存在个位数情况，因此可以简化判断
int gcd(int a, int b)
{if(a == b && a != 1){return 0;}if(a % 2 == 0 && b % 2 == 0){return 0;}if(a % 3 == 0 && b % 3 == 0){return 0;}if(a % 5 == 0 && b % 5 == 0){return 0;}if(a % 7 == 0 && b % 7 == 0){return 0;}return 1;
}// 计算美丽下标对的总数
int countBeautifulPairs(int* nums, int numsSize) {int* frontNum = (int*)calloc(numsSize, sizeof(int));int* lastNum = (int*)calloc(numsSize, sizeof(int));int cnt = 0;// 提取每个数字的第一个和最后一个数字for (int i = 0; i < numsSize; i++) {lastNum[i] = nums[i] % 10;frontNum[i] = nums[i];while (frontNum[i] >= 10) {frontNum[i] /= 10;}}// 计算美丽下标对的数量for (int i = 0; i < numsSize; i++) {for (int j = i + 1; j < numsSize; j++) {if (gcd(frontNum[i], lastNum[j]) == 1) {cnt++;}}}free(frontNum);free(lastNum);return cnt;
}

详细解析

1. 提取数字的第一个和最后一个数字：

   • 使用 nums[i] % 10 提取最后一个数字。
   • 使用 while (frontNum[i] >= 10) { frontNum[i] /= 10; } 提取第一个数字。

2. 计算最大公因数 (GCD)：

   • 如果 gcd(a, b) == 1，则 a 和 b 互质。

3. 计数美丽下标对：

   • 使用双层循环检查每一对 (i, j) 是否满足互质条件。
   • 如果满足条件，则计数器 cnt 加1。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n^2)，其中 n 是数组的长度。双层循环遍历每一对 (i, j)。
• 空间复杂度：O(n)，用于存储提取的第一个和最后一个数字。

结果