线性模型 - 二分类问题

一、什么是二分类问题？

1、二分类问题的概念：

二分类(Binary Classification)问题的类别标签 𝑦 只有两种取值，通常可以设为 {+1, −1} 或 {0, 1}.在二分类问题中，常用正例(Positive Sample)和负例(Negative Sample)来分别表示属于类别 +1 和 −1 的样本.

二分类问题是机器学习中的一种基本任务，目标是将输入数据分为两类，也称为二元分类。也就是说，给定一组样本，每个样本都有一个标签，标签通常取值为“正类”（例如1）和“负类”（例如0或-1），机器学习模型的任务就是根据输入特征判断样本属于哪一类。

2、关键点说明

（1）输入和输出

输入：每个样本由一组特征构成，可以是数值、文本、图像等。
输出：输出是一个二元标签，表示样本属于哪一类。

（2）常用算法

逻辑回归：通过对输入特征进行线性组合后，利用 Sigmoid 函数将结果映射到 (0,1)区间，表示样本属于正类的概率，然后根据阈值（通常为0.5）做出分类决策。
支持向量机（SVM）：寻找最佳分隔超平面，将两类样本分隔开来，达到较好的分类效果。
决策树、朴素贝叶斯、k近邻算法等也常用于二分类任务。

（3）评价指标

准确率：正确分类的样本数占总样本数的比例。
精确率和召回率：分别衡量预测为正类中真正正类的比例，以及所有正类样本中被正确预测的比例。
F1分数：精确率和召回率的调和平均数，综合反映模型性能。

（4）这里涉及到一些之前学习的Sigmoid函数、评价指标，我们回顾一下，温故而知新，加深理解。

Sigmoid函数：

准确率：衡量模型在测试集中正确预测的比例。

精确率：在模型预测为正类的样本中，真正为正类的比例。适用于关注误报（False Positive）代价较高的场景。

召回率：在所有实际为正类的样本中，被模型正确识别出来的比例。适用于关注漏报（False Negative）代价较高的场景。

F1分数：精确率和召回率的调和平均，用于综合评估模型在正负两方面的表现。

二、二分类问题中涉及的三个概念：分割超平面(Hyperplane)、决策边界(Decision Boundary)、决策平面(Decision Surface)

在机器学习中，这三个概念都与如何划分输入空间以实现分类决策有关，但它们侧重点略有不同：

1、分割超平面（Hyperplane）

定义：
在 d 维空间中，分割超平面是一个 d−1 维的平面。对于线性分类器来说，它通常由一个线性方程 w^T x + b = 0 定义。
作用：
它将整个输入空间划分成两个半空间，在二分类问题中，一个半空间对应正类，另一个对应负类。
举例：
在二维空间中，分割超平面就是一条直线；在三维空间中，它是一个平面。

2、决策边界（Decision Boundary）

定义：
决策边界是指分类器在输入空间中将不同类别分开的那条（或那组）曲线、平面或更高维的表面。它是所有让分类器“犹豫不决”（即分类得分相等）的点的集合。
作用：
对于任意一个点，如果它恰好落在决策边界上，那么模型可能无法确定该点属于哪个类别。
关系：
对于线性分类器来说，决策边界通常就是那个分割超平面；对于非线性分类器，决策边界可能是一个曲线或曲面。

3、决策平面（Decision Surface）

定义：
决策平面是一个更广义的概念，通常用来描述分类器所形成的、在输入空间中区分不同类别的几何结构。当分类器是线性时，决策平面与决策边界通常是同一概念；当分类器是非线性时，我们可以把决策平面理解为决策边界在整个输入空间中的“形状”，它可能是非平坦的曲面。
作用：
它反映了模型如何在整个输入空间中作出决策的模式。

联系与区别

联系：
- 在二分类问题中，分类器需要根据输入特征做出决策，分割输入空间为不同类别。分割超平面、决策边界和决策平面都描述了这种划分机制。
- 对于线性模型来说，分割超平面就是决策边界，也就是决策平面，因为它们都是由一个线性方程 wTx+b=0 描述的。
区别：
- 分割超平面：严格是数学上定义的一个 d−1 维平面，通常用在线性分类中。
- 决策边界：更侧重于描述分类器“犹豫不决”的边界，既适用于线性模型，也适用于非线性模型。
- 决策平面：可以视为决策边界在整个输入空间中的几何呈现方式，线性模型下它和分割超平面相同，而非线性模型下它可能是复杂的曲面。

简单举例

线性分类器（二维）
假设在二维平面中，我们有一个逻辑回归模型，其决策函数为：

分割超平面：由 w_1 x_1 + w_2 x_2 + b = 0 定义，这是一条直线。
决策边界：在这条直线两侧，模型分别预测为正类或负类；直线本身就是决策边界。
决策平面：在二维空间中，决策平面就是这条直线；如果是三维或更高维，则决策平面就是那个超平面。

非线性分类器
假设一个非线性模型将二维平面划分为两类，其决策边界是一条弯曲的曲线，这时：

分割超平面：严格来说不再适用，因为模型不再使用线性划分。
决策边界：就是那条弯曲的曲线，所有落在这条曲线上（或非常接近这条曲线）的点模型会难以决策。
决策平面：可以理解为这条曲线在二维空间中的几何呈现，它描述了模型在整个空间中如何进行分类决策。

通过这些例子，初学者可以直观地理解：

线性模型中，分割超平面、决策边界和决策平面通常是同一个平面，帮助我们将数据分为两部分。
在更复杂的非线性模型中，决策边界和决策平面可能变得曲折和复杂，而“超平面”这个概念则不再适用。

这种理解有助于我们在选择和设计分类模型时，明确不同模型如何划分数据空间。

三、二分类问题的应用举例

二分类问题在机器学习中非常常见，指的是将数据划分为两个互斥的类别。下面通过几个实际应用举例，帮助你直观理解二分类问题的应用场景：

1. 垃圾邮件检测

场景描述：
在电子邮件系统中，需要判断一封邮件是“垃圾邮件”还是“正常邮件”。
如何实现：
- 特征提取：从邮件中提取关键词、发件人、邮件主题、正文内容等特征。
- 模型训练：利用逻辑回归、支持向量机或朴素贝叶斯等算法，通过标注好的垃圾邮件和正常邮件数据训练模型。
- 预测与决策：模型输出每封邮件属于垃圾邮件的概率，然后根据设定的阈值进行分类。
意义：
自动过滤垃圾邮件，提高用户体验和系统安全性。

2. 疾病诊断

场景描述：
医疗诊断中，医生或系统需要判断一个病人是否患有某种疾病，例如癌症筛查。
如何实现：
- 特征提取：收集病人的各项检查指标（如血液测试、影像数据、基因信息等）。
- 模型训练：利用标注数据（患者确诊与未确诊的数据），训练分类模型，如逻辑回归、决策树或神经网络。
- 预测与决策：模型输出病人患病的概率，根据临床设定的阈值判断病人是否需要进一步检查或治疗。
意义：
提供辅助诊断，帮助医生更早发现疾病，降低漏诊率，提高治疗成功率。

3. 信用风险评估

场景描述：
银行或金融机构需要评估贷款申请者是否有违约风险，即判断申请者“违约”还是“正常还款”。
如何实现：
- 特征提取：利用个人信用记录、收入、负债、历史借贷情况等数据构建特征。
- 模型训练：使用逻辑回归、随机森林、支持向量机等算法，通过历史数据训练信用风险预测模型。
- 预测与决策：模型输出违约风险的概率，根据风险阈值决定是否批准贷款。
意义：
降低金融机构的违约风险，提高贷款审批的准确性和效率。

4. 客户流失预测

场景描述：
在订阅制服务中，需要预测哪些客户可能会取消订阅，即判断客户“流失”或“不流失”。
如何实现：
- 特征提取：收集客户的使用频率、满意度调查、历史续订记录等数据。
- 模型训练：通过监督学习方法，训练分类模型，预测客户流失的概率。
- 预测与决策：根据模型输出的流失概率，采取相应的营销或客户维护措施。
意义：
帮助企业提前识别流失风险客户，从而采取措施留住客户，提升客户满意度和收益。