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1.9.1. 一些准备工作
接下来，请你确保你的Python环境中有pandas、matplotlib、scikit-learn和numpy这几个包，如果没有，请在终端输入指令以下载和安装：
pip install pandas matplotlib scikit-learn numpy
我把.csv数据文件放在GitCode上了，点击链接即可下载。
训练数据有3栏：exam1、exam2和exam3_pass_or_not。exam1和exam2里填写的是学生在两次考试中的成绩（可以是浮点数，满分100），exam3_pass_or_not代表第三次考试有没有通过，通过是1，没通过是0。我们的目标就是训练逻辑回归模型去找到exam3_pass_or_not的决策边界。
下载好后把它移到你的Python项目文件夹里即可。
1.9.2. 建立一阶边界模型
在上一篇文章中我们介绍了如何建立简单的一阶边界模型，这里就不再详细讲解了，我就直接把代码和输出贴在这里：
# 读取数据
import pandas as pd
data = pd.read_csv('exam_results.csv') # 给x和y赋值
x = data.drop(['exam3_pass_or_not'], axis=1)
y = data.loc[:, 'exam3_pass_or_not'] # 训练模型
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
model = LogisticRegression()
model.fit(x, y) # 获取决策边界
theta1, theta2 = model.coef_[0]
theta0 = model.intercept_[0] # 获取预测值
prediction = model.predict(x) # 可视化
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as npx1 = data.loc[:, 'exam1'].to_numpy()
x2 = data.loc[:, 'exam2'].to_numpy()
y = data.loc[:, 'exam3_pass_or_not'].to_numpy() class0 = (y == 0)
class1 = (y == 1) plt.scatter(x1[class0], x2[class0], c='r', marker='o')
plt.scatter(x1[class1], x2[class1], c='b', marker='x')
plt.xlabel('exam1')
plt.ylabel('exam2') # 计算 x1 的范围
x1_min, x1_max = x1.min() - 1, x1.max() + 1
x1_range = np.linspace(x1_min, x1_max, 100) # 使用决策边界公式计算 x2x2_boundary = -(theta1 * x1_range + theta0) / theta2 # 绘制决策边界
plt.plot(x1_range, x2_boundary, color='green', label="Decision Boundary") # 展示
plt.legend()
plt.show() # 计算准确率
from sklearn.metrics import accuracy_score
accuracy = accuracy_score(y, prediction)
print(f'Accuracy: {accuracy}')
输出：
Accuracy: 0.972
输出图片：
可以看到，有一些数据确实呗决策曲线错分类了，这是一阶决策边界（一条直线）的极限了。如果还要提升准确率就需要建立二阶的决策边界（一条曲线）。
1.9.3.建立二阶决策边界
Step 1: 读取数据
一样的使用pandas库来读取csv文件，顺便使用head方法来查看一下数据的前几项：
# 读取数据
import pandas as pd
data = pd.read_csv('exam_results.csv') print(data.head())
输出：
exam1 exam2 exam3_pass_or_not
0 37.454012 69.816171 0
1 95.071431 53.609637 1
2 73.199394 30.952762 1
3 59.865848 81.379502 1
4 15.601864 68.473117 0
我们还可以使用上一篇文章 1.8. 逻辑回归实战(基础) 中教过的画有分类的散点图方法来直观的看看数据：
# 可视化原始数据
import matplotlib.pyplot as plt
x1 = data.loc[:, 'exam1'].to_numpy()
x2 = data.loc[:, 'exam2'].to_numpy()
y = data.loc[:, 'exam3_pass_or_not'].to_numpy() class0 = ( y == 0 )
class1 = ( y == 1 ) plt.scatter(x1[class0], x2[class0], c='r', marker='o')
plt.scatter(x1[class1], x2[class1], c='b', marker='x')
plt.xlabel('exam1')
plt.ylabel('exam2')
plt.show()
输出图片：
Step 2: 给x和y赋值
我们要首先明确x和y代表什么：
y是exam3_pass_or_not这一栏的数据
x有些特别，由于我们建立的是二阶模型，所以方程的项跟原来比更复杂：
θ 0 + θ 1 X 1 + θ 2 X 2 + θ 3 X 1 2 + θ 4 X 2 2 + θ 5 X 1 X 2 = 0 \theta_0 + \theta_1 X_1 + \theta_2 X_2 + \theta_3 X_1^2 + \theta_4 X_2^2 + \theta_5 X_1 X_2 = 0 θ0+θ1X1+θ2X2+θ3X12+θ4X22+θ5X1X2=0
有x_12、`x_2`2、X_1 * x_2这些项。所以我们得把这些项打包在字典里，再转为模型能使用的DataFrame格式给它使用。
# 给x和y赋值
y = data.loc[:, 'exam3_pass_or_not']
x1 = data.loc[:, 'exam1']
x2 = data.loc[:, 'exam2']
x = { 'x1': x1, 'x2': x2, 'x1^2': x1 ** 2, 'x2^2': x2 ** 2, 'x1*x2': x1 * x2,
} x = pd.DataFrame(x)
print(x.head())
输出：
x1 x2 x1^2 x2^2 x1*x2
0 37.454012 69.816171 1402.803006 4874.297789 2614.895713
1 95.071431 53.609637 9038.576924 2873.993140 5096.744851
2 73.199394 30.952762 5358.151308 958.073452 2265.723399
3 59.865848 81.379502 3583.919807 6622.623341 4871.852929
4 15.601864 68.473117 243.418162 4688.567787 1068.308266
这是最基础的一种方法，还有一种简单的方法来生成这个字典：
from sklean.preprocessing import PolynomialFeatures
poly = PolynomialFeatures(degree = 2)
x = data.drop(['exam3_pass_or_not'], axis = 1)
x = poly.fit_transform(x)
poly = PolynomialFeatures(degree = 2)中先创建了一个PolynomialFeatures实例，然后通过degree参数来调整是几次的多项式，我写的是2生成的就会是2次多项式。- 使用
data.drop(['exam3_pass_or_not'], axis = 1)来去掉最后一列的数据，保留前两列 - 使用
poly上的fit_transform方法来生成字典
Step 3: 训练模型
把数据喂给scikit-learn下的逻辑回归模型进行训练即可：
# 训练模型
from sklearn.linear_model import LogisticRegression
model = LogisticRegression()
model.fit(x, y)
Step 4: 获取决策边界
我们可以通过coef_和intercept_两个方法分别获得截距和系数：
# 获取决策边界
theta1, theta2, theta3, theta4, theta5 = model.coef_[0]
theta0 = model.intercept_[0]print(f'Decision Boundary: {theta0} + {theta1}x1 + {theta2}x2 + {theta3}x1^2 + {theta4}x2^2 + {theta5}x1*x2')
这里面的每个变量都对应着方程中的参数：
θ 0 + θ 1 X 1 + θ 2 X 2 + θ 3 X 1 2 + θ 4 X 2 2 + θ 5 X 1 X 2 = 0 \theta_0 + \theta_1 X_1 + \theta_2 X_2 + \theta_3 X_1^2 + \theta_4 X_2^2 + \theta_5 X_1 X_2 = 0 θ0+θ1X1+θ2X2+θ3X12+θ4X22+θ5X1X2=0
输出：
Decision Boundary: -204.44094927587327 + -1.0566693402530631x1 + 1.3772537803356335x2 + 0.057584352318122055x1^2 + 0.006716600903162952x2^2 + 0.010830701167147672x1*x2
Step 5: 获取预测值
# 获取预测值
prediction = model.predict(x)
由于我们有500个数据，打出来太多了，这里就不进行打印了。
Step 6: 可视化决策边界
这里可视化决策边界稍微有点复杂，因为是二阶的项变多了，但是思路是暴力且简单的：我们都知道了所有的theta值，就是把解析式得出来了。接着根据x_1、x_2值和直接算对应的点即可。
# 可视化
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np x1 = x1.to_numpy()
x2 = x2.to_numpy()
y = y.to_numpy() class0 = (y == 0)
class1 = (y == 1) plt.scatter(x1[class0], x2[class0], c='r', marker='o')
plt.scatter(x1[class1], x2[class1], c='b', marker='x')
plt.xlabel('exam1')
plt.ylabel('exam2') # 可视化二阶决策边界 # 定义exam1和exam2的范围，为了画网格
x1_min, x1_max = x1.min() - 1, x1.max() + 1
x2_min, x2_max = x2.min() - 1, x2.max() + 1 # 生成网格数据
xx1, xx2 = np.meshgrid(np.linspace(x1_min, x1_max, 500), np.linspace(x2_min, x2_max, 500)) # 计算每个点的决策边界值
z = (theta0 + theta1 * xx1 + theta2 * xx2 + theta3 * xx1 ** 2 + theta4 * xx2 ** 2 + theta5 * xx1 * xx2) # 绘制样本点
plt.scatter(x1[class0], x2[class0], c='r', label='Not Pass', marker='o')
plt.scatter(x1[class1], x2[class1], c='b', label='Pass', marker='x') # 绘制决策边界
plt.contour(xx1, xx2, z, levels=[0], colors='g') # 添加标签和图例
plt.xlabel('Exam1 Score')
plt.ylabel('Exam2 Score')
plt.legend()
plt.title('Decision Boundary')
plt.show()
- 网格生成 (
np.meshgrid)：生成exam1和exam2值的坐标网格，用于计算每一个点的决策值 - 决策值计算 (
z)：z是决策函数的值，基于 logistic 回归的系数和截距 - 等高线画图 (
plt.contour)：plt.contour()方法可以绘制出特定值（比如0对应决策边界）的等高线
输出图片：
可以看到，这个决策边界的误判率低了很多。下面我们通过计算准确率来定量分析。
Step 7: 计算准确率
# 计算准确率
from sklearn.metrics import accuracy_score
accuracy = accuracy_score(y, prediction)
print(f'Accuracy: {accuracy}')
输出：
Accuracy: 1.0
百分百的正确率说明我们这个模型很成功。
