欧拉公式和sin cos

一、前言

欧拉公式由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）于18世纪提出。它是数学里最令人着迷的公式之一，它将数学里最重要的几个常数联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。

二、欧拉公式

欧拉公式也叫欧拉恒等时：

$e^{i\pi }+1=0$

当欧拉公式的核心表达式就是连接复数指数函数与三角函数的核心关系式：

$e^{i\theta }=cos(\theta )+i\ast sin(\theta )$

那么如何理解欧拉公式呢，通过上式我们发现欧拉公式涉及主要有两点：
（1）复数、复指数；
（2）三角函数

1. 首先说一下复数，一般将复数定义如下：

形如a+bi（a、b均为实数）的数为复数，其中，a被称为实部，b被称为虚部，i为虚数单位。复数通常用z表示，即z=a+bi。

复数主要出现在数学运算中，其可以简化数学运算，并便于将许多工程应用映射到数学公式中。

1.再说一下三角函数：

角函数是基本初等函数之一，其所有函数的理论以圆为基础，在数学上可反映不同角度下幅度的变化，在现实工程应用中，其可反映在不同时间条件下信号的变化。

三、欧拉公式与sin cos

对于单独的sin(t)或者cos(t)函数，其反映的是二维空间上的变化，而$e^{it}$反映的是三维空间中的变化。

为什么欧拉公式实部是cos，虚部时sin，其实其表示的是初始相位为零的单位旋转向量，在实数轴上和虚数轴上投影 。在向量旋转起来后，分别在实数轴上和虚数轴可得到随时间变化的cos和sin。

逆时针旋转时（对应欧拉公式定义）：
$e^{iwt}=cos(wt)+i\ast sin(wt)$

顺时针旋转时：
我们参考逆时针旋转方向取反$e^{-iwt}=cos(wt)-i\ast sin(wt)$

不同方向结果共轭。

将以上映射到3维空间

从上图可以看到，$e^{iwt}$在实际三维空间上为一个随时间螺旋，像一个弹簧一样。

四、欧拉公式变式

主要是$cos(wt)$和$sin(wt)$的复指数表达式：

$cos(wt)=\frac{1}{2}(e^{iwt}+e^{-iwt})$

$sin(wt)=\frac{1}{2i}(e^{iwt}-e^{-iwt})=\frac{i}{2}(e^{-iwt}-e^{iwt})$

结合第三章欧拉公式，通过以上公式可以发现：$cos(wt)$和$sin(wt)$为幅度为1/2、旋转方向相反（角度相反）两个圆旋转的线性叠加。这也是fft变换出现负频谱的原因。

对于$cos(wt)$，因$cos(wt)=cos(-wt)$，所以两个圆的叠加不用取反，直接相加，抵消的虚部sin部分，同时cos部分幅度增加1倍；

对于$sin(wt)$，因$sin(wt)=-sin(-wt)$，所以两个圆的叠加中一个方向需要取反再相加，抵消的实部cos部分，同时sin部分幅度增加1倍；