【高等数学学习记录】映射

【高等数学&学习记录】映射

从事测绘工作多年，深刻感受到基础知识的重要及自身在这方面的短板。
为此，打算重温测绘工作所需基础知识。练好基本功，为测绘工作赋能。

1 知识点

1.1 映射

• 映射
  设$X$、$Y$是非空集合，若存在法则$f$，使$X$中每个元素$x$，在$Y$中有唯一确定的元素$y$与之对应，则称$f$为从$X$到$Y$的映射，记作$f:X\to Y$。
• 像
  元素$y$称为元素$x$（在映射$f$下）的像，记作$f(x)$，即$y=f(x)$。
• 原像
  元素$x$称为元素$y$（在映射$f$下）的一个原像。
• 定义域
  集合$X$称为映射$f$的定义域，记作$D_f$，即$D_f=X$。
• 值域
  $X$中所有元素的像组成的集合称为映射$f$的值域，记作$R_f$或$f(X)$，即 R f = f ( X ) = { f ( x ) ∣ x ∈ X } R_f=f(X)=\lbrace f(x)|x\in X \rbrace Rf​=f(X)={f(x)∣x∈X}。
• 像和原像的关系
  对每个$x\in X$，其像$y$是唯一的；而对每个$y\in R_f$，其原像不一定是唯一的。
• 值域与集合$Y$的关系
  值域$R_f$是$Y$的一个子集，即$R_f\subset Y$，不一定$R_f=Y$。
• 满射
  若$R_f=Y$，即$Y$中任一元素$y$都是$X$中某元素的像，则称$f$为$X$到$Y$上的满射。
• 单射
  若$X$中任意两个不同的元素$x_1\ne x_2$，其像$f(x_1)\ne f(x_2)$，则称$f$为$X$到$Y$的单射。
• 一一映射（双射）
  若映射$f$既是单射，又是满射，则称$f$为一一映射或双射。

1.2 逆映射与复合映射

• 逆映射
  • 设$f$是$X$到$Y$的一一映射。
  • 定义一个从$R_f$到$X$的新映射$g$，即$g:R_f\to X$，对每个$y\in R_f$，规定$g(y)=x$，这个映射$g$称为$f$的逆映射，记作$f^{-1}$。
  • 其定义域$D_{f^{-1}}=R_f$，值域$R_{f^{-1}}=X$。
• 复合映射
  • 设有两个映射$g:X\to Y_1$、$f:Y_2\to Z$，其中$Y_1\subset Y_2$。
  • 则由映射$g$和$f$可以定出一个从$X$到$Z$的对应法则，它将每个$x\in X$映成$f(g(x))\in Z$。
  • 这个对应法则确定了一个从$X$到$Z$的映射，这个映射称为映射$g$和$f$构成的复合映射，记作$g\circ f$。

2 练习题

• 【题目】
  设映射$f:X\to Y,A\subset X,B\subset X$，证明：
  (1) $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$
  (2) $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$

• 【证明（1）】
  $\because A\subset X,B\subset X$
  $\therefore (A\cup B)\subset X$
  $\therefore f(A\cup B)$有意义
  
  $\because \forall a\in A,\exists f(a)\in f(A)$
  $\forall b\in B,\exists f(b)\in f(B)$
  $\therefore \forall x\in A\cup B,\exists f(x)\in f(A)\cup f(B)$
  结论1：$\therefore f(A\cup B)\subset f(A)\cup f(B)$
  
  $\because f(A)\subset f(A\cup B),f(B)\subset f(A\cup B)$
  结论2：$\therefore f(A)\cup f(B)\subset f(A\cup B)$
  
  由结论1和结论2可得，$f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$。
  
  

• 【证明（2）】
  $\because \forall x\in A\cap B$ 即 $x\in A$且$x\in B$
  $\exists f(x)\in f(A)$ 且 $f(x)\in f(B)$
  $\therefore f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$

  ---

• 【学习资料】
  《高等数学（第六版）》 上册，同济大学数学系 编