64. 最小路径和
题目链接https://leetcode.cn/problems/minimum-path-sum/
题目描述
给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
说明：每次只能向下或者向右移动一步。
示例:
[1,3,1][1,5,1][4,2,1]
输出: 7
解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
题目解法
从题目中我们可以知道，每次只能向下或者向右移动一步。
因此，第 i 行第 j 列的最小路径和与第 i-1 行第 j 列的最小路径和第i行第j-1列的最小路径和有关。
因此，我们可以用动态规划的方法来求解。
设 dp[i][j] 表示从左上角走到第 i 行第 j 列的最小路径和。
- 定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示从左上角走到第 i 行第 j 列的最小路径和。
- 则dp[i][j]=min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i][j]，其中 grid[i][j] 表示网格中第 i 行第 j 列的元素。注意当i-1或者j-1越界时，说明无法从该点走到右下角，因此需要取最大值。
- 初始值 dp[0][0] = grid[0][0]，其他 dp[i][j] = 0。
- 最后返回 dp[m-1][n-1]，即为最小路径和。
代码实现
python版本：
class Solution:def minPathSum(self, grid: List[List[int]]) -> int:if not grid or not grid[0]:return 0m, n = len(grid), len(grid[0])dp = gridfor i in range(1, m):dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0]for j in range(1, n):dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j]for i in range(1, m):for j in range(1, n):dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j]return dp[m - 1][n - 1]
Go版本：
func minPathSum(grid [][]int) int {m:=len(grid)n:=len(grid[0])res:=make([][]int,m)for i:=range res{res[i]=make([]int,n)}res[0][0]=grid[0][0]for i:=1;i<n;i++{res[0][i]=res[0][i-1]+grid[0][i]}for i:=1;i<m;i++{res[i][0]=res[i-1][0]+grid[i][0]}for i:=1;i<m;i++{for j:=1;j<n;j++{res[i][j]=min(res[i-1][j],res[i][j-1])+grid[i][j]}}return res[m-1][n-1]
}
C++版本：
class Solution {
public:int minPathSum(vector<vector<int>>& dp) {int m=dp.size(),n=dp[0].size();auto res=vector<vector<int>> (m,vector<int>(n));res[0][0]=dp[0][0];for(int i=1;i<m;i++){res[i][0]=res[i-1][0]+dp[i][0];}for(int j=1;j<n;j++){res[0][j]=res[0][j-1]+dp[0][j];}for(int i=1;i<m;i++){for(int j=1;j<n;j++){res[i][j]=min(res[i-1][j],res[i][j-1])+dp[i][j];}}return res[m-1][n-1];}
};
