量子纠错--shor‘s 码

2024/10/25 6:30:55 来源：https://blog.csdn.net/m0_54373077/article/details/143163645 浏览: 次关键词：量子纠错--shor‘s 码

定理1 (量子纠错的条件) C是一组量子编码，P是映射到C上的投影算子。假设 $\varepsilon$ 是一个算子元素 ${E_{i}}$ 描述的量子操作，那么基于量子编码C，存在一个能对抗 $\varepsilon$ 描述的噪声的纠错操作R的充要条件是

$PE_{i}^{+}E_{j}P=\alpha _{ij}P$

对某个复元素厄米矩阵 $\alpha$ 成立。

将算子元素 ${E_{i}}$ 称为 $\varepsilon$ 导致的错误。如果这样的 $R$ 存在，即 ${E_{i}}$ 构成一组可纠正的错误。

定理2 假设C是一个量子编码，R是定理10.1的证明中所构造的纠错操作，它被用来回复操作元素 ${E_{i}}$ 所描述的噪声作用过程 $\varepsilon$ 的影响。假设F是另外一个量子操作，且它的操作算子 $F_{i}$ 是 ${E_{i}}$ 的线性组合，即

$F_{j}=\sum_{i}^{}m_{ji}E_{i}$

这里 $m_{ji}$ 构成一个复数矩阵，那么，R也能纠正噪声作用过程F对编码C的影响。

纠错码的全局特点可以用汉明距离来理解。我们将一个编码的距离定义为任意两个码字之间的最小距离，即

$d(C)\equiv min_{x,y\in C,x\neq y}d(x,y)$

注意有d(x,y)=wt(x+y)。因为编码是线性的，如果x和y是码字，则x+y也是，于是

$d(C)\equiv min_{x,\in C}d(x)$

记 $d\equiv d(C)$ ，我们说C是一个[n,k,d]编码，距离这个概念的重要性在于，一个距离为2t+1的编码，最多可以纠正t个比特上的错误。如果错误少于t个，则我们可以将噪声干扰后编码信息 $y^{'}$ 解码为满足 $d(y,y^{'})\leq t$ 的唯一码字。

注意Gilbert-Varshamov界限的结果指出，对于大的整数n，存在一个能纠正t错误的[n,k]纠错码的条件是

$\frac{k}{n}\geq 1-H(\frac{2t}{n})$

这里， $H(x)\equiv -xlog(x)-(1-xlog(1-x))$ (指的是二元香农熵)

shor’s code

小结：

量子纠错码：一个[n,k,d]量子纠错码用n个物理量子比特编码k个逻辑量子比特，并且举例为d。

量子纠错条件：C为一个量子纠错码，P是映射到C上的投影算子。该纠错码能纠正错误集 ${E_{i}}$ 当且仅当

$PE_{i}^{+}E_{j}P=\alpha _{ij}P$

对某个复数构成厄米矩阵 $\alpha$ 成立。

稳定子编码：令S是稳定子编码C(S)的稳定子， $E_{j }$ 是一组噪声，它是泡利群元素，而且对所有的j和k有 $E^{+}_{j}E_{k}$ 不属于N(S)-S成立。那么对C(S)来说， $E_{j }$ 是一组可纠噪声

容错量子计算：编码量子态上的一组通用逻辑操作，可按照下面的要求来，即如果所有的逻辑门的错误概率是p，编码数据中等效错误概率将是O(p^2)量级。

阈值定理：假设单个量子门上的噪声低于某个常数阈值，并且满足物理上合理的假设，则可以可靠的实现任意长的量子计算，并且为了保证可靠性，多出的代价跟电路的规模比起来很小。

参考

1.[量子计算]量子纠错码:shor's code_哔哩哔哩_bilibili

2.（美）Michael ANielsen（迈克尔A.尼尔森），Isaac L.Chuang（艾萨克 L.庄）. 量子计算与量子信息 10周年版[M]. 北京：电子工业出版社, 2022.02.