单级倒立摆系统的建模是研究控制问题的关键步骤，其核心在于描述小车和摆杆的动力学行为。以下是详细的建模过程，包括基本假设、动力学分析和数学模型的推导。
2. 基本假设
- 小车和摆杆均为刚体。
- 轨道是水平且无倾斜的。
- 摆杆的质量集中于质心。
- 小车和摆杆的运动仅限于二维平面。
- 铰接点无摩擦（或可忽略）。
3. 动力学分析
4. 状态空间模型
将以上非线性方程表示为状态空间形式，并在小角度假设下线性化。
(1) 状态变量
定义状态变量：
5. 总结与验证
- 上述模型描述了单级倒立摆系统的动力学行为，可以用于分析系统的稳定性和设计控制器。
- 验证模型时，可以通过仿真（如 MATLAB 或 Python）测试系统的动态响应。
6. 模型改进
考虑非线性
如果系统的角度 θ偏离小角度范围，可以考虑完整的非线性模型。
模型扩展
- 摩擦力建模：引入库仑摩擦或黏性摩擦。
- 参数不确定性：考虑 MMM、mmm、lll 的变化对系统性能的影响。
通过对建模过程的准确理解，可以为控制算法（如 PID、LQR 或非线性控制）的设计奠定坚实基础。
单级倒立摆（Inverted Pendulum）的PID控制是一项经典的控制问题，涉及通过控制摆杆的角度或小车的位置来稳定系统。以下是详细的设计与实现方法：
1. 系统描述
单级倒立摆系统包含：
- 小车（Cart）：可以在水平轨道上移动。
- 摆杆（Pendulum）：固定在小车上的铰接点，随小车的运动倾斜或恢复直立。
(3) 内外环耦合控制
由于 θ\ 和 x之间的动态是耦合的，可以先设计角度控制（内环），再设计位置控制（外环）：
- 内环主要快速响应，确保摆杆角度稳定。
- 外环动作较慢，负责调整小车位置。
4. 系统实现
(1) 离散化 PID
在数字控制中，PID控制器以离散形式实现：
5. 仿真与测试
使用 MATLAB/Simulink 或 Python 进行仿真。
(1) 仿真步骤
- 建立系统模型，包含小车和摆杆的动力学方程。
- 添加 PID 控制器，并连接反馈路径。
- 引入噪声和外界扰动，测试系统的鲁棒性。
(2) 性能指标
- 稳定性：摆杆是否能快速恢复到直立位置。
- 响应时间：系统达到稳定状态所需时间。
- 超调量：摆杆或小车偏离目标值的最大程度。
- 稳态误差：最终误差是否足够小。
6. 优化与扩展
(1) 改进控制策略
- 前馈控制：结合系统模型预估外部扰动，减少控制误差。
- 增量 PID：适用于快速变化的输入，避免大幅调整。
- LQR 或模糊 PID：引入线性二次调节器（LQR）或模糊控制，提高控制精度。
(2) 实际应用注意事项
- 摩擦和饱和效应：在实际系统中需考虑小车轨道摩擦和控制输入饱和限制。
- 传感器精度：确保角度和位置测量的准确性。
通过上述方法，单级倒立摆的 PID 控制可实现稳定和高效的控制效果。
