[高等数学学习记录]函数的单调性与曲线的凹凸性

1 知识点

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1.1 函数单调性的判定法

定理1

设函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导.

(1) 如果在 $(a,b)$ 内，$f^{\prime }(x)>0$，那么函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调增加；

(2) 如果在 $(a,b)$ 内，$f^{\prime }(x)<0$，那么函数 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上单调减少.

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1.2 曲线的凹凸性与拐点

定义

设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，如果对 $I$ 上任意两点 $x_1$、$x_2$恒有$f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，

那么称 $f(x)$ 在$I$ 上的图形是(向上)凹的(或凹弧)；

如果恒有$f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$,

那么称 $f(x)$ 在 $I$ 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）.

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定理2

设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内具有一阶和二阶导数，那么

(1) 若在 $(a,b)$ 内 $f’’(x)>0$,则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的图形是凹的；

(2) 若在 $(a,b)$ 内 $f’’(x)<0$,则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的图形是凸的.

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拐点

如果曲线 $y=f(x)$ 在经过点 $(x_0,f(x_0))$ 时，曲线的凹凸性改变了，就称该点为曲线的拐点.

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2 练习题

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2.1

题： 判断函数 $f(x)=arctanx-x$ 的单调性.

解：

$\because f’(x)=\frac{1}{1+x^2}-1=-\frac{x^2}{1+x^2}\le 0$ 且仅在 $x=0$ 时 $f’(x)=0$

$\therefore f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上单调递减.

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2.2

题： 判断函数 $f(x)=x+cosx(0\le x\le 2\pi )$ 的单调性.

解：

$\because f’(x)=1-sinx\ge 0$ 且仅在 $x=\frac{\pi }{2}$ 时 $f’(x)=0$

$\therefore$ 函数在 $[0,2\pi ]$ 上单调递增.

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2.3

题： 确定下列函数的单调区间：

题(1)： $y=2x^3-6x^2-18x-7$

解：

$y’=6x^2-12x-18=6(x-3)(x+1)$

当 $x\in (-\infty ,-1)$ 时，$y’>0$

当 $x\in (-1,3)$ 时，$y’<0$

当 $x\in (3,+\infty )$时，$y’>0$

$\therefore$ 函数在 $(-\infty ,-1]$ 上单调递增，在 $[-1,3]$ 上单调递减，在 $[3,+\infty )$ 上单调递增

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题(2)： $y=2x+\frac{8}{x}(x>0)$

解：

$y’=2-\frac{8}{x^2}=\frac{2(x+2)(x-2)}{x^2}$

当$x\in (0,2)$时，$y’<0$

当$x\in (2,+\infty )$时，$y’>0$

$\therefore$ 函数在 $(0,2]$ 上单调递减，在 $[2,+\infty )$ 上单调递增.

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题(3)： $y=\frac{10}{4x^3-9x^2+6x}$

解：

$y^{\prime }=-10(4x^3-9x^2+6x{)}^{-2}(12x^2-18x+6)=-60(x-1)(2x-1)(4x^3-9x^2+6x{)}^{-2}$

当 $x\in (-\infty ,0)\cup (0,\frac{1}{2})$ 时，$y^{\prime }<0$

当 $x\in (\frac{1}{2},1)$ 时，$y^{\prime }>0$

当 $x\in (1,+\infty )$ 时，$y^{\prime }<0$

$\therefore$ 函数在 $(-\infty ,0)\cup (0,\frac{1}{2})$ 内单调递减，在 $[\frac{1}{2},1]$ 内单调递减，在 $[1,+\infty )$ 内单调递减.

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题(4)： $y=ln(x+\sqrt{1+x^2})$

解：

$y^{\prime }=\frac{1+\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{x+\sqrt{1+x^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}>0$

$\therefore$ 函数在 $(-\infty ,+\infty )$ 内单调递增.

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题(5)： $y=(x-1)(x+1{)}^3$

解：

$y^{\prime }=(x+1{)}^3+3(x-1)(x+1{)}^2=2(x+1{)}^2(2x-1)$

当 $x\in (-\infty ,-1)\cup (-1,\frac{1}{2})$ 时，$y^{\prime }<0$

当 $x\in (\frac{1}{2},+\infty )$ 时，$y^{\prime }>0$

$\therefore$ 函数在 $(-\infty ,\frac{1}{2}]$ 上单调递减，在 $[\frac{1}{2},+\infty )$ 上单调递增.

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题(6)： $y=\sqrt[3]{(2x-a)(a-x{)}^2}(a>0)$

解：

$y^{\prime }=\frac{1}{3}[(2x-a)(a-x{)}^2{]}^{-\frac{2}{3}}\cdot [2(a-x{)}^2-2(2x-a)(a-x)]$

$=\frac{2}{3}[(2x-a)(x-a{)}^2{]}^{-\frac{2}{3}}(x-a)(3x-2a)$

$=\frac{2}{3}(2x-a{)}^{-\frac{2}{3}}(x-a{)}^{-\frac{1}{3}}(3x-2a)$

当 $x\in (-\infty ,\frac{a}{2})$ 时，$y^{\prime }>0$；

当 $x\in (\frac{a}{2},\frac{2a}{3})$ 时，$y^{\prime }>0$；

当 $x\in (\frac{2a}{3},a)$ 时，$y^{\prime }<0$；

当 $x\in (a,+\infty )$ 时，$y^{\prime }>0$.

$\therefore$ 函数在 $(-\infty ,\frac{2a}{3}]$ 上单调递增，在 $[\frac{2a}{3},a]$ 上单调递减，在 $[a,+\infty )$ 上单调递增.

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题(7)： $y=x^n{e}^{-x}(n>0,x\ge 0)$

解：

$y^{\prime }=n{x}^{n-1}{e}^{-x}+x^n{e}^{-x}(-1)=x^{n-1}(n-x)$

当 $x\in (0,n)$ 时，$y^{\prime }>0$

当 $x\in (n,+\infty )$ 时，$y^{\prime }<0$

$\therefore$ 函数在 $[0,n]$ 上单调递增；在 $[n,+\infty )$ 上单调递减.

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题(8)： $y=x+|sin2x|$

解：

原式可以转换为 $y=\{\begin{array}{ll}x+sin2x,& k\pi \le x\le k\pi +\frac{\pi }{2}\\ x-sin2x,& k\pi +\frac{\pi }{2}<x<(k+1)\pi \end{array}k\in Z$

$\therefore y^{\prime }=\{\begin{array}{ll}1+2cos2x,& k\pi <x<k+\frac{\pi }{2}\\ 1-2cos2x,& k\pi +\frac{\pi }{2}<x<(k+1)\pi \end{array}k\in Z$

当 $x\in (k\pi ,k\pi +\frac{\pi }{3})$ 时，$y^{\prime }>0$

当 $x\in (k\pi +\frac{\pi }{3},k\pi +\frac{\pi }{2})$ 时，$y^{\prime }<0$

当 $x\in (k\pi +\frac{\pi }{2},k\pi +\frac{5\pi }{6})$ 时，$y^{\prime }>0$

当 $x\in (k\pi +\frac{5\pi }{6},k\pi +\pi )$ 时，$y^{\prime }<0$

$\therefore$ 函数在 $[k\pi ,k\pi +\frac{\pi }{3}]$ 上单调递增，在 $[k\pi +\frac{\pi }{3},k\pi +\frac{\pi }{2}]$ 上单调递减，在 $[k\pi +\frac{\pi }{2},k\pi +\frac{5\pi }{6}]$ 上单调递增，在 $[k\pi +\frac{5\pi }{6},k\pi +\pi ]$ 上单调递减.

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2.4

题: 证明下列不等式：

题(1)： 当 $x>0$ 时，$1+\frac{x}{2}>\sqrt{1+x}$

解:

令 $f(x)=1+\frac{x}{2}-\sqrt{1+x}$

则 $f^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{1+x}-1}{2\sqrt{1+x}}>0$

$\therefore f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递增

$\therefore$ 当 $x>0$ 时，$f(x)>f(0)=0$

$\therefore 1+\frac{x}{2}>\sqrt{1+x}$

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题(2)： 当 $x>0$ 时，$1+xln(x+\sqrt{1+x^2})>\sqrt{1+x^2}$

解：

令 $f(x)=1+xln(x+\sqrt{1+x^2})-\sqrt{1+x^2}$

$f^{\prime }(x)=ln(x+\sqrt{1+x^2})+\frac{x}{x+\sqrt{1+x^2}}(1+\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}})-\frac{2x}{2\sqrt{1+x^2}}$

$=ln(x+\sqrt{1+x^2})$

当 $x>0$ 时，$f^{\prime }(x)>0$

$\therefore f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递增

$\therefore$ 当 $x>0$ 时，$f(x)>f(0)=0$

$\therefore 1+xln(x+\sqrt{1+x^2})>\sqrt{1+x^2}$

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题(3)： 当 $0<x<\frac{\pi }{2}$ 时，$sinx+tanx>2x$

解：

令 $f(x)=sinx+tanx-2x$

则 $f^{\prime }(x)=cosx+se{c}^{2}x-2=\frac{co{s}^{3}x-2co{s}^{2}x+1}{co{s}^{2}x}$

令 $g(x)=co{s}^3-2co{s}^{2}x+1$

则 $g^{\prime }(x)=4cosx\cdot sinx-3co{s}^{2}x\cdot six=sinx\cdot cosx(4-3cosx)$

$\because 0<x<\frac{\pi }{2}$

$\therefore g^{\prime }(x)>0$

$\therefore g(x)$ 在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上单调递增

$\therefore g(x)>g(0)=0$

$\therefore f^{\prime }(x)>0$

$\therefore f(x)$ 在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上单调递增

$\therefore f(x)>f(0)=0$

$\therefore sinx+tanx>2x$

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题(4)： 当 $0<x<\frac{\pi }{2}$ 时，$tanx>x+\frac{1}{3}{x}^3$

解：

令 $f(x)=tanx-x-\frac{x^3}{3}$

则 $f^{\prime }(x)=se{c}^2-1-x^2=ta{n}^2-x^2$

$\because 0<x<\frac{\pi }{2}$

$\therefore f^{\prime }(x)>0$

$\therefore f(x)$ 在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上单调递增

$\therefore f(x)>f(0)=0$

$\therefore tanx>x+\frac{1}{3}{x}^3$

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题(5)： 当 $x>4$ 时，$2^x>x^2$

解：

令 $f(x)=2^x-x^2$

则 $f^{\prime }(x)=2^{x}ln2-2x$

$f^{\prime \prime }(x)=2^{x}ln2ln2-2$

$\because x>4$

$\therefore f^{\prime \prime }(x)>0$

$\therefore f^{\prime }(x)$ 在 $[4,+\infty )$ 上单调递增

$\therefore f^{\prime }(x)>f^{\prime }(4)>0$

$\therefore f(x)$ 在 $[4,+\infty )$ 上单调递增

$\therefore f(x)>f(4)=0$

$\therefore 2^x>x^2$

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2.5

题: 讨论方程 $lnx=ax$ （其中 $a>0$）有几个实根？

解：

令 $f(x)=lnx-ax$

则 $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-a$

当 $x=\frac{1}{a}$ 时，$f^{\prime }(x)=0$

$\because f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{x^2}<0$

$\therefore f(x)$ 在定义域上是凸的

$\therefore$ 函数在 $(0,\frac{1}{a}]$ 上单调递增，在 $[\frac{1}{a},+\infty )$ 上单调递减

$\therefore x=\frac{1}{a}$ 时，$f(x)$ 得到最大值，即 $f(\frac{1}{a})=ln(\frac{1}{a})-a\cdot \frac{1}{a}=-lna-1$

当 $f(\frac{1}{a})=0$ 时，即 $a=\frac{1}{e}$ 时，方程只有一个实根；

当 $f(\frac{1}{a})<0$ 时，即 $a>\frac{1}{e}$ 时，方程没有实根；

当 $f(\frac{1}{a})>0$ 时，即 $a<\frac{1}{e}$ 时，方程有两个实根。

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2.6

题： 单调函数的导函数是否必需为单调函数？研究这个例子：$f(x)=x+sinx$.

解：

$\because f^{\prime }(x)=1+cosx$

$\therefore 0\le f^{\prime }(x)\le 2$

$\therefore f(x)$ 在定义域上单调递增

$\because f^{\prime \prime }(x)=-sinx$ 有正值，也有负值

$\therefore f^{\prime }(x)$ 在定义域上有递增区间也有递减区间

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2.7

题： 判断下列曲线的凹凸性：

题(1)：$y=4x-x^2$

解：

$y^{\prime }=4-2x$

$y^{\prime \prime }=-2$

$\therefore y$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上的图形是凸的

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题(2)： $y=shx$

解：

$y^{\prime }=chx$

$y^{\prime \prime }=shx=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$

当 $x\in (0,+\infty )$ 时，$y^{\prime \prime }>0$

当 $x\in (-\infty ,0)$ 时，$y^{\prime \prime }<0$

$\therefore y$ 在 $[0,+\infty )$ 上的图形是凹的，在 $(-\infty ,0]$ 上的图形是凸的

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题(3)： $y=x+\frac{1}{x}(x>0)$

解：

$y^{\prime }=1-\frac{1}{x^2}$

$y^{\prime \prime }=\frac{2}{x^3}$

$\because x>0$

$\therefore y^{\prime \prime }>0$

$\therefore y$ 在 $(0,+\infty )$ 上的图形是凹的

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题(4)： $y=xarctanx$

解：

$y^{\prime }=arctanx+\frac{x}{1+x^2}$

$y^{\prime \prime }=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1-x^2}{(1+x^2{)}^2}=\frac{2}{(1+x^2{)}^2}$

$\because y^{\prime \prime }>0$

$\therefore y$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上的图形是凹的

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2.8

题： 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：

题(1)： $y=x^3-5x^2+3x+5$

解：

$y^{\prime }=3x^2-10x+3$

$y^{\prime \prime }=6x-10$

当 $x=\frac{5}{3}$ 时，$y=\frac{20}{27}$， $y^{\prime \prime }=0$

$\therefore (\frac{5}{3},\frac{20}{27})$ 是函数的拐点

当 $x\in (-\infty ,\frac{5}{3})$ 时，$y^{\prime \prime }<0$

$\therefore (-\infty ,\frac{5}{3}]$ 为凸区间

当 $x\in (\frac{5}{3},+\infty )$ 时，$y^{\prime \prime }>0$

$\therefore [\frac{5}{3},+\infty )$ 为凹区间

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题(2)： $y=x{e}^{-x}$

解：

$y^{\prime }=e^{-x}-x{e}^{-x}$

$y^{\prime \prime }=-e^{-x}-e^{-x}+x{e}^{-x}=e^{-x}(x-2)$

当 $x=2$ 时，$y=2e^{-2}$，$y^{\prime \prime }=0$

$\therefore (2,2e^{-2})$ 是函数的拐点

当 $x\in (-\infty ,2)$ 时，$y^{\prime \prime }<0$

$\therefore (-\infty ,2]$ 为凸区间

当 $x\in (2,+\infty )$ 时，$y^{\prime \prime }>0$

$\therefore [2,+\infty )$ 为凹区间

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题(3): $y=(x+1{)}^4+e^x$

解：

$y^{\prime }=4(x+1{)}^3+e^x$

$y^{\prime \prime }=12(x+1{)}^2+e^x>0$

$\therefore$ 函数在 $(-\infty ,+\infty )$ 为凹的，没有拐点

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题(4)： $y=ln(x^2+1)$

解：

$y^{\prime }=\frac{2x}{x^2+1}$

$y^{\prime \prime }=\frac{2(1+x)(1-x)}{(x^2+1{)}^2}$

$x\in (-\infty ,-1)$ 时，$y^{\prime \prime }<0$

$x\in (-1,1)$ 时，$y^{\prime \prime }>0$

$x\in (1,+\infty )$ 时，$y^{\prime \prime }<0$

$\therefore$ 函数在 $(-\infty ,-1]$ 内为凸，在 $[-1,1]$ 内为凹，在 $[1,+\infty )$ 内为凸

$\therefore (-1,ln2)(1,ln2)$ 为函数的两个拐点

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题(5)： $y=e^{arctanx}$

解：

$y^{\prime }=\frac{e^{arctanx}}{1+x^2}$

$y^{\prime \prime }=\frac{e^{arctanx}(1-2x)}{(1+x^2{)}^2}$

当 $x\in (-\infty ,\frac{1}{2})$ 时，$y^{\prime \prime }>0$

当 $x\in (\frac{1}{2},+\infty )$ 时，$y^{\prime \prime }<0$

$\therefore$ 函数在 $(-\infty ,\frac{1}{2}]$ 内为凹，在 $[\frac{1}{2},+\infty )$ 内为凸

$\therefore (\frac{1}{2},e^{arctan\frac{1}{2}})$ 为函数的拐点

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题(6)： $y=x^4(12lnx-7)$

解：

$y^{\prime }=4x^3(12lnx-7)+12x^3$

$y^{\prime \prime }=144x^{2}lnx$

当 $x\in (0,1)$ 时，$y^{\prime \prime }<0$

当 $x\in (1,+\infty )$ 时，$y^{\prime \prime }>0$

$\therefore$ 函数在 $(0,1]$ 内为凸，在 $[1,+\infty )$ 内为凹

$\therefore (1,-7)$ 为函数的拐点

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2.9

题： 利用函数图形的凹凸性，证明下列不等式：

题(1)： $\frac{1}{2}(x^n+y^n)>(\frac{x+y}{2}{)}^n(x>0,y>0,x\ne y,n>1)$

解：

令 $f(t)=t^n(t>0,n>1)$

则 $f^{\prime }(t)=n{t}^{n-1}$

$f^{\prime \prime }(t)=n(n-1)t^{n-2}>0$

$\therefore f(t)$ 在定义域上为凹

根据凹函数的定义：$\frac{f(x)+f(y)}{2}>f(\frac{x+y}{2})$

即：$\frac{1}{2}(x^n+y^n)>(\frac{x+y}{2}{)}^n$

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题(2)： $\frac{e^x+e^y}{2}>e^{\frac{x+y}{2}}(x\ne y)$

解：

令 $f(t)=e^t$

则 $f^{\prime \prime }(t)=e^t>0$

$\therefore f(t)$ 在定义域上为凹

根据凹函数的定义：$\frac{f(x)+f(y)}{2}>f(\frac{x+y}{2})$

$\therefore \frac{e^x+e^y}{2}>e^{\frac{x+y}{2}}$

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题(3)： $xlnx+ylny>(x+y)ln\frac{x+y}{2}(x>0,y>0x\ne y)$

解：

令 $f(t)=tlnt(t>0)$

则 $f^{\prime }(t)=lnt+1$，$f^{\prime \prime }(t)=\frac{1}{t}>0$

$\therefore f(t)$ 在定义域上为凹

根据凹函数的定义：$\frac{f(x)+f(y)}{2}>f(\frac{x+y}{2})$

$\therefore \frac{xlnx+ylny}{2}>\frac{x+y}{2}ln(\frac{x+y}{2})$

$\therefore xlnx+ylny>(x+y)ln(\frac{x+y}{2})$

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2.10

题： 试证明曲线 $y=\frac{x-1}{x^2+1}$ 有三个拐点位于同一直线上.

解：

$y^{\prime }=\frac{-x^2+2x+1}{(x^2+1{)}^2}$

$y^{\prime \prime }=\frac{2(x+1)(x^2-4x+1)}{(x^2+1{)}^3}$

令 $y^{\prime \prime }=0$ 得 $x_1=-1,x_2=2+\sqrt{3},x_3=2-\sqrt{3}$

$\therefore x\in (-\infty ,-1)$ 时，$y^{\prime \prime }<0$

$x\in (-1,2-\sqrt{3})$ 时，$y^{\prime \prime }>0$

$x\in (2-\sqrt{3},2+\sqrt{3})$ 时，$y^{\prime \prime }<0$

$x\in (2+\sqrt{3},+\infty )$ 时，$y^{\prime \prime }>0$

$\therefore (-1,-1),(2+\sqrt{3},\frac{-1+\sqrt{3}}{4}),(2-\sqrt{3},\frac{-1-\sqrt{3}}{4})$ 是曲线的拐点

设直线方程为 $y=kx+b$，将前两个坐标代入方程可得：

$\{\begin{array}{l}-1=-k+b\\ \frac{-1+\sqrt{3}}{4}=k(2+\sqrt{3})+b\end{array}$

求得：$k=\frac{1}{4},b=-\frac{3}{4}$

验证第三点：$\frac{-1-\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{4}\cdot (2-\sqrt{3})-\frac{3}{4}$ 成立

$\therefore$ 三点共线

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2.11

题： 问 $a$、$b$ 为何值时，点 $(1,3)$ 为曲线 $y=a{x}^3+b{x}^2$ 的拐点？

解：

$y^{\prime }=3a{x}^2+2bx$

$y^{\prime \prime }=6ax+2b$

点 $(1,3)$ 为曲线的拐点，则

$\{\begin{array}{l}f(1)=3\\ f^{\prime \prime }(1)=0\end{array}$

即：$\{\begin{array}{l}a+b=3\\ 6a+2b=0\end{array}$

得：$a=-\frac{3}{2},b=\frac{9}{2}$

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2.12

题： 试决定曲线 $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ 中的 $a$、$b$、$c$、$d$，使得 $x=-2$ 处曲线有水平切线，$(1,-10)$ 为拐点，且点 $(-2,44)$ 在曲线上.

解：

$\because x=-2$ 处曲线有水平切线

$\therefore f^{\prime }(-2)=3a{x}^2+2bx+c{|}_{x=-2}=12a-4b+c=0(1)$

$\because (1，-10)$ 为拐点

$\therefore f^{\prime \prime }(1)=6ax+2b{|}_{x=1}=6a+2b=0(2)$

$\because (1,-10)$ 在直线上

$\therefore f(1)=a+b+c+d=10(3)$

$\therefore (-2,44)$ 在直线上

$\therefore f(-2)=-8a+4b-2c+d=44(4)$

由 $(1),(2),(3),(4)$ 式可得：

$a=1,b=-3,c=-24,d=16$

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2.13

题： 试决定 $y=k(x^2-3{)}^2$ 中 $k$ 的值，使曲线的拐点处的法线通过原点.

解：

$y^{\prime }=4kx(x^2-3)$

$y^{\prime \prime }=12k(x^2-1)=12k(x+1)(x-1)$

$\therefore (-1,4k),(1,4k)$ 均为曲线的拐点

曲线在 $(-1,4k)$ 处的法线为：$y-4k=-\frac{1}{8k}(x+1)$

曲线在 $(1,4k)$ 处的法线为：$y-4k=\frac{1}{8k}(x+1)$

$\because$ 法线通过原点

$\therefore (0,0)$ 在法线上，代入法线方程得：$k=\frac{\sqrt{2}}{8}$ 或 $k=-\frac{\sqrt{2}}{8}$

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[学习资料]

1.《高等数学（第六版）》 ，同济大学数学系 编

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