“道生1，1生2，2生3，3生万物″是《道德经》老子的宇宙观，也是数学的演绎性概括。自然数有序排列(0现在归在自然数集合中)，每一个自然数比前一个自然数多1，以至无限。关于自然数的各种特别定义，如正整数(0除外)，偶数(一般指正整数)，相对有奇数，合数相对质数(或素数)，偶质数专指2，奇质数指大于2的素数。合数至少有两个大于1的因子数，而素数除自身和1外没有其他的因子数。判断一个正整数是合数还是素数，先看个位数，个位数是0，2，5的整数，一定是合数，之后要用不超过它的算术平方根的素数试除它，凡能被一个素数整除的都是合数，不能被小于它算术平方根的所有素数整除的都是素数。正因为对一个整数判断其是素数的困难性，才逐渐形成了数论。
第一问:素数是无限的吗？
证明方法有经典的欧几里德反证法。假设素数是有限的，设为a，b，…，p个素数，那么，axbx…xp+1一定不能被已知素数a，b，…，p所整除，所以它是一个新的素数或者它是合数时素因子也是一个新的素数，这与已知有限个素数a，b，…，p相矛盾，所以，素数是无限的。
第二问:素数是如何分布的？n以内的素数个数是多少？
由于素数的特殊性，只能用排除合数的方法得到素数，著名的方法是埃氏筛法，即埃拉托斯特尼筛法，是公元前250年古希腊数学家埃拉托斯特尼提出的高效素数筛选算法。核心是从2开始，将每个质数的倍数标记为合数并剔除，剩下的就是质数。
就这样统计素数的个数，日积月累，发现的素数越来越多。统计的结果发现了一个规律，就是N以内的素数个数π(N)接近于N/lnN，即
π(N)=limN/lnN(N→∞)
这是素数定理描述素数分布规律，其发现历经多位数学家探索：
18世纪，数学家们已对素数分布感兴趣。如高斯15岁时通过对100万以内整数中素数计数，推测x以内素数个数π(x)与x/(ln x)接近；勒让德1798年也提出类似猜想，给出丌(x)≈x/(Aln x + B)，但未确定A、B值。
1849年，俄国数学家切比雪夫证明对足够大x，存在常数a、b，使(ax)/ln x}<π(x)<(bx)ln x，还得出a、b接近1，距素数定理证明一步之遥。
1896年，阿达马和瓦莱 - 普桑独立证明素数定理，即lim{(π(x )/[x/ln x]} = 1 ，证明运用了复变函数理论，尤其是黎曼ζ函数相关性质。
1949年，塞尔伯格和埃尔德什给出基于初等数学方法的证明，虽复杂但不用高深数学工具，深化了对素数定理的理解。
素数定理描述了x以内的素数个数与x的函数关系，但对素数的认识远未结束。2015年左右，我发现了欧拉函数筛法和颠覆性筛法，确定了n以内素数个数的不小于p个(p^2≤n)，孪生素数个数不小于[p/2]个，2n表两个素数之和的个数不小于[p/4]个(p^2≤2n)。欧拉函数筛法和颠覆性筛法揭示了素数的存在性，孪生素数的存在性和哥德巴赫猜想的存在性本质，为相关问题的研究提供了新的思路和方法。
欧拉函数及推广与欧拉函数筛法
用φ(n)表示n以内的正整数与n互质的个数。如φ(10)=4，10以内正整数{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，与10互质的数为{1，3，7，9}。设n的质因子为a，b，…，p，那么，φ(n)=n(1-1/a)(1-1/b)…(1-1/p)。
把它推广到任意连续的n个正整数集合中，依然是上述表达式。如10连续的正整数{5，6，7，8，9，10，11，12，13，14}，与10互质的数为彳7，9，11，13}共4个数。
更有意思的是，把欧拉函数也能推广到等差数列集合中和孪生素数的存在数域以及哥德巴赫猜想的存在数城中。
孪生素数的存在数域:
设B:{(~1，1)，(0，2)，(1，3)，…，(n-2，n)，…，(m-2，m)}，
集合B中元素的两数之差为2，当两个数都为素数时，元素中两数为孪生素数。元素的性质是，两个相邻的元素中，只有一个元素被2整除，任意连续的p(p>2)个元素中，能被p整除的元素只有二个(元素被p整除，指元素中至少有一个数能被p整除)，若用φ(n)表示n个连续的元素与n互质的元素个数(与n互质的元素，指元素中的两个数都与n互质)。如φ(6)=(2-1)(3-2)=1，即任意连续的6个元素中，与6互质元素只有一个。
由此产生欧拉函数筛法:
φ(2)=(2-1)=1，
φ(2x3)=(2-1)(3-2)=1，
φ(2x3x5)=(2-1)(3-2)(5-2)，
…………
从(-1，1)，(0，2)中筛去(0，2)，剩(-1，1)；
从(-1，1)，(1，3)，(3，5中筛除含3因子元素，剩(-1，1)。
从(-1，1)，(5，7)，(11，13)，(17，19)，(23，25)中筛除会5因子元素，剩
(-1，1)，(11，13)，(17，19)，
继续下去，可得到孪生素数。
例，用欧拉函数筛法求200表两个素数之和的个数。
答，欧拉函数筛法，
200=1+199=2+198=…=100+100
从(1，199)，(2，198)中筛去(2，198)，
从(1，199)，(3，197)，(5，195)中筛去含3因子的元素，得(1，199)。
以(1，199)，(7，193)，(13，187)，(19，181)，(25，175)中筛除含5的因子元素，得
(1，199)，(7，193)，(13，187)，(19，181)，
从(1，199)，(7，193)，(13，187)，(19，181)
(31，169)，(37，163)，(43，157)，(49，151)，
(61，139)，(67，133)，(73，127)，(79，12l)，
(91，109)，(97，103)，(103，97)(舍)
中筛除含7，含11，含13的因子元素，得
(1，199)，(19，181)，(37，163)，(43，157)，(61，139)，，(73，127)，
(97，103)，共七个。其中不包括含筛码的(素数，素数)元素，如(7，193)。1不是素数，但(1，素数)计算在“1+1"个数中。
如果令m=2x3x…xp，p^2≤n，p为素数，那么，与m互质的元素个数为
(2-1)(3-2)(5-2)…(p-2)。
设B(n)表n以内的孪生素数个数，有
B(n)/n≈(2-1)(3-2)(5-2)…(p-2)/m。于是
B(n)≈n(1-1/2)(1-1/3)…(1－1/p)。
同样的方法，设数域C，
C:{(1，2n-1)，(2，2n-2)，…，(n，n)…，，(m，2n-m)}，其中，m=2x3x…xp，素数p^2≤2n，
C(2n)表数城C中n以内的与m互质的元素个数，那么，
C(2n)≈n(1-1/2)(1－r2/3)…(1－rt/p)，其中，rt=1，当p|2n时；rt=2，当p不整除2n时。
设A(n)表n以内的与m互质的素数个数，那么，
A(n)≈n(1-1/2)(1－1/3)…(1－1/p)，其中素数p^2≤n。
以上A(n)，B(n)，C(2n)表示了n以内的素数个数(不包括筛码个数)，孪生素数个数(不包括筛码个数)，2n表两个素数之和的个数(不包括筛码个数)。并得到了它们的表示式。而颠覆性筛法给出了A(n)≥p，B(n)≥[p/2]，C(2n)≥[p/4]。(关于颠覆性筛法的概念请参考他文)。(李扩继)
)
