【初阶数据结构】树——二叉树（上）

文章目录

前言

一、树

1.树的概念与结构

2.树相关术语

3.树的表示

二、二叉树

1.概念与结构

2.特殊的二叉树

3.二叉树存储结构

总结

前言

本篇带大家学习一种非线性数据结构——树，简单认识树和二叉数以及了解二叉树的存储结构。

一、树

1.树的概念与结构

树是⼀种非线性的数据结构，它是由 n （ n>=0 ）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像⼀棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

树的特点：

有⼀个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点。
除根结点外，其余结点被分成 M(M>0) 个互不相交的集合 T1、T2、……、Tm ，其中每⼀个集合 Ti(1 <= i <= m) 又是⼀棵结构与树类似的⼦树。每棵⼦树的根结点有且只有⼀个前驱，可以有 0 个或多个后继。因此，树是递归定义的

注：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

非树形结构：

子树是不相交的（如果存在相交就是图了，图以后得课程会有讲解）
除了根结点外，每个结点有且仅有一个父结点
一棵N个结点的树有N-1条边

2.树相关术语

父结点/双亲结点： 若⼀个结点含有⼦结点，则这个结点称为其⼦结点的⽗结点；如上图：A是B的父结点

子结点/孩子结点： ⼀个结点含有的⼦树的根结点称为该结点的⼦结点；如上图：B是A的孩⼦结点

结点的度： ⼀个结点有⼏个孩⼦，他的度就是多少；⽐如A的度为6，F的度为2，K的度为0

树的度： ⼀棵树中，最⼤的结点的度称为树的度；如上图：树的度为 6

叶子结点/终端结点： 度为 0 的结点称为叶结点；如上图： B 、 C 、 H 、 I... 等结点为叶结点

分支结点/非终端结点：度不为 0 的结点；如上图： D、E、F、G... 等结点为分⽀结点

兄弟结点： 具有相同⽗结点的结点互称为兄弟结点(亲兄弟)；如上图： B 、 C 是兄弟结点

结点的层次：从根开始定义起，根为第 1 层，根的⼦结点为第 2 层，以此类推；

树的高度或深度：树中结点的最⼤层次；如上图：树的⾼度为 4

结点的祖先：从根到该结点所经分⽀上的所有结点；如上图： A 是所有结点的祖先

路径：⼀条从树中任意节点出发，沿⽗节点-⼦节点连接，达到任意节点的序列；⽐如A到Q的路径为：A-E-J-Q；H到Q的路径H-D-A-E-J-Q

子孙：以某结点为根的⼦树中任⼀结点都称为该结点的⼦孙。如上图：所有结点都是A的⼦孙

森林： 由 m （ m>0 ）棵互不相交的树的集合称为森林；

3.树的表示

树结构相对线性表就⽐较复杂了，要存储表⽰起来就⽐较⿇烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系，实际中树有很多种表⽰⽅式如：双亲表⽰法，孩⼦表⽰法、孩⼦双亲表⽰法以及孩⼦兄弟表⽰法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

struct TreeNode
{struct Node* child; // 左边开始的第⼀个孩⼦结点struct Node* brother; // 指向其右边的下⼀个兄弟结点int data; // 结点中的数据域
};

4.树形结构实际运用场景

文件系统是计算机存储和管理文件的一种方式，它利用树形结构来组织和管理文件和文件夹。在文件系统中，树结构被广泛应用，它通过父结点和子结点之间的关系来表示不同层级的文件和文件夹之间的关联。

二、二叉树

1.概念与结构

在树形结构中，我们最常用的就是二叉树，一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合由一个根结点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成或者为空。

从上图可以看出二叉树具备以下特点：

二叉树不存在度大于 2 的结点
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的⼆叉树都是由以下几种情况复合而成的。

2.特殊的二叉树

满二叉树

⼀个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为 K ，且结点总数是 2 k − 1 ，则它就是满二叉树。

完全二叉树

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K 的，有 n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点⼀⼀对应时称之为完全二叉树。要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

二叉树性质

根据满二叉树的特点可知：

若规定根结点的层数为 1 ，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 2 i−1 个结点
若规定根结点的层数为 1 ，则深度为 h 的二叉树的最大结点数是 2 h − 1
若规定根结点的层数为 1 ，具有 n 个结点的满二叉树的深度 h = log2 (n + 1) ( log 以2为底， n+1 为对数)

3.二叉树存储结构

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

顺序结构

顺序结构存储就是使⽤数组来存储，⼀般使⽤数组只适合表⽰完全⼆叉树，因为不是完全⼆叉树会有空间的浪费，完全⼆叉树更适合使⽤顺序结构存储。

链式结构

二叉树的链式存储结构是指，⽤链表来表⽰⼀棵⼆叉树，即⽤链来指⽰元素的逻辑关系。通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别⽤来给出该结点左孩⼦和右孩⼦所在的链结点的存储地址。链式结构⼜分为⼆叉链和三叉链，当前我们学习中⼀般都是⼆叉链。后⾯课程学到⾼阶数据结构如红⿊树等会⽤到三叉链