用Python实现时间序列模型实战——Day 3: 时间序列数据预处理

一、学习内容

1. 时间序列的差分运算

差分运算：

差分运算是时间序列平稳化的一种方法，通过计算相邻时间点的差值来消除序列中的趋势和季节性成分。
一阶差分用于去除线性趋势，公式为：
$y'_t = y_t - y_{t-1}$
其中：

$y_t$ 是时间 $t$ 的原始值，

$y'_t$ 是一阶差分后的值。

二阶差分用于去除更复杂的趋势，公式为：
$y''_t = y'_t - y'_{t-1} = (y_t - y_{t-1}) - (y_{t-1} - y_{t-2}) = y_t - 2y_{t-1} + y_{t-2}]$

其中：

$y_t$ 是时间 $t$ 的原始值，

$y'_t$ 是一阶差分后的值，

$y''_t$ 是二阶差分后的值。

2. 时间序列的去趋势与去季节性

去趋势：

去趋势是指通过去除时间序列中的长期趋势成分，使数据更适合用于建模。常见的方法包括差分法和回归法。

去季节性：

去季节性是指消除时间序列中的季节性成分，以便更好地分析数据的长期趋势和随机成分。通常通过移动平均法或季节性差分来实现。

3. 时间序列的平滑技术（移动平均法）

移动平均法：

移动平均法是一种通过计算数据的平均值来平滑时间序列的方法，帮助减少数据中的波动，使趋势和季节性更加明显。
简单移动平均 (SMA) 是最常见的平滑方法，计算方式为：

$SMA_t = \frac{y_t + y_{t-1} + \dots + y_{t-n+1}}{n}$

其中：

$y_t$ 是时间 $t$ 的原始值，

$n$ 是移动平均的窗口大小。

$SMA_t$ 是时间 $t$ 计算得到的移动平均值。

二、实战案例

1. 数据加载与原始数据可视化

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt# 加载时间序列数据集
url = "https://raw.githubusercontent.com/jbrownlee/Datasets/master/airline-passengers.csv"
data = pd.read_csv(url, parse_dates=['Month'], index_col='Month')# 绘制原始数据的时间序列图
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(data['Passengers'], label='Original')
plt.title('Original Time Series')
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Number of Passengers')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

输出结果：

原始数据的时间序列图：图表显示了航空乘客数量的时间序列，存在明显的上升趋势和季节性波动。

程序解释：

我们首先加载了 airline_passengers 数据集，该数据集记录了 1949 年至 1960 年期间的航空乘客数量。

然后，我们绘制了原始数据的时间序列图，显示乘客数量随时间的变化。

2. 一阶差分

# 一阶差分
data_diff = data.diff().dropna()# 绘制一阶差分后的时间序列图
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(data_diff['Passengers'], label='First Order Differencing', color='orange')
plt.title('First Order Differencing')
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Differenced Passengers')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

输出结果：

一阶差分后的时间序列图：差分后的序列消除了线性趋势，数据围绕零上下波动，说明差分操作有效地去除了趋势成分。

程序解释：

我们计算了时间序列的一阶差分，以消除数据中的线性趋势。

使用 data.diff() 计算一阶差分，.dropna() 去除首行的 NaN 值（因为差分操作会导致首行数据为空）。

差分后的时间序列图显示了去趋势后的数据波动情况。

3. 移动平均去趋势

# 移动平均去趋势 (12个月的窗口)
data['12-months SMA'] = data['Passengers'].rolling(window=12).mean()# 绘制移动平均后的时间序列图
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(data['Passengers'], label='Original')
plt.plot(data['12-months SMA'], label='12-Months SMA', color='red')
plt.title('12-Months Simple Moving Average (SMA)')
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Number of Passengers')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

输出结果：

移动平均去趋势的时间序列图：使用 12 个月的窗口计算的 SMA 平滑了数据，使得趋势更加明显，同时保留了数据中的季节性成分。

程序解释：

我们使用 12 个月的简单移动平均 (SMA) 来平滑数据，消除季节性波动，使长期趋势更加明显。

使用 rolling(window=12).mean() 计算 12 个月的 SMA，并将其绘制在原始数据的图上进行比较。

4. 去季节性处理

# 去季节性 (差分一年)
data_seasonal_diff = data['Passengers'].diff(periods=12).dropna()# 绘制去季节性后的时间序列图
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(data_seasonal_diff, label='Seasonal Differencing (12 months)', color='green')
plt.title('Seasonal Differencing (12 months)')
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Differenced Passengers')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

输出结果：