从0开始深度学习（15）——权重衰退法（L2正则化）

本章将介绍一种正则化模型技术——权重衰减法

1 权重衰退法

1.1 正则化技术定义

正则化技术是用来防止过拟合（overfitting）的方法，可以限制模型的复杂度，使模型更加泛化，从而提高其对新数据的预测能力

1.2 权重衰退法（L2正则化）

权重衰退的核心思想：在模型原有的损失函数基础上，加上一个额外的惩罚项，这个惩罚项通常是模型权重向量的L2范数乘以一个正则化参数$\lambda$，这种做法鼓励模型学习到更小的权重值

1.3 理论

以线性回归作为例子，线性回归的损失函数是误差的平方差和：
$$L(w,b)=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}({\hat{y}}^{(i)}-y^{(i)}{)}^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{2}(w^T{x}^{(i)}+b-y^{(i)}{)}^2$$
$w$是权重，$b$是偏置项，而权重衰退法就是在损失函数中添加惩罚：
$$L(w,b)+\frac{\lambda }{2}||w|{|}^2$$
观察上面式子，如果权重$w$很大，则损失函数的输出也会变大，这样就能限制权重$w$，让型选择较小的权重，从而降低了模型的复杂性。

$\lambda$是展示了正则化对模型的影响，$\lambda$越大，则正则化对模型的影响越强，反之越弱。

2 通过线性回归来展示L2正则化

2.1 准备数据

生成公式如下：

%matplotlib inline
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2ln_train, n_test, num_inputs, batch_size = 20, 100, 200, 5
true_w, true_b = torch.ones((num_inputs, 1)) * 0.01, 0.05
train_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_train)
train_iter = d2l.load_array(train_data, batch_size)
test_data = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, n_test)
test_iter = d2l.load_array(test_data, batch_size, is_train=False)

2.2 初始化模型参数

def init_params():w = torch.normal(0, 1, size=(num_inputs, 1), requires_grad=True)b = torch.zeros(1, requires_grad=True)return [w, b]

2.3 定义L2正则化

也就是上面展示的，这里并没有加入$\lambda$：
$$\frac{\lambda }{2}||w|{|}^2$$

def l2_penalty(w):return torch.sum(w.pow(2)) / 2

2.4 训练代码

train(lambd)的输入是$\lambda$，即表示正则化对模型的影响有多大，$\lambda =0$，则无影响

def train(lambd):w, b = init_params()net, loss = lambda X: d2l.linreg(X, w, b), d2l.squared_lossnum_epochs, lr = 100, 0.003animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])for epoch in range(num_epochs):for X, y in train_iter:# 增加了L2范数惩罚项，# 广播机制使l2_penalty(w)成为一个长度为batch_size的向量l = loss(net(X), y) + lambd * l2_penalty(w)l.sum().backward()d2l.sgd([w, b], lr, batch_size)if (epoch + 1) % 5 == 0:animator.add(epoch + 1, (d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))print('w的L2范数是：', torch.norm(w).item())

2.5 不使用正则化

train(lambd=0)

会发现随着epoch的增加，train的loss再下降，但是test没有明显下降，这就是典型的过拟合

2.6 使用权重衰退法

train(lambd=3)

使用L2正则化之后，情况有所改善，虽然训练误差增大，但测试误差减小，表面模型的泛化能力得到了增强

2.7 使用pytorch的API简洁实现

直接在优化器中使用weight_decay选项，该选项就是$\lambda$，等于0就不使用正则化。

def train_concise(wd):net = nn.Sequential(nn.Linear(num_inputs, 1))for param in net.parameters():param.data.normal_()loss = nn.MSELoss(reduction='none')num_epochs, lr = 100, 0.003# 偏置参数没有衰减trainer = torch.optim.SGD([{"params":net[0].weight,'weight_decay': wd},{"params":net[0].bias}], lr=lr)animator = d2l.Animator(xlabel='epochs', ylabel='loss', yscale='log',xlim=[5, num_epochs], legend=['train', 'test'])for epoch in range(num_epochs):for X, y in train_iter:trainer.zero_grad()l = loss(net(X), y)l.mean().backward()trainer.step()if (epoch + 1) % 5 == 0:animator.add(epoch + 1,(d2l.evaluate_loss(net, train_iter, loss),d2l.evaluate_loss(net, test_iter, loss)))print('w的L2范数：', net[0].weight.norm().item())

train_concise(3)