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红黑树的概念
红黑树的约束颜色规则
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如何确保最长路径不超过最短路径的2倍
红黑树的效率
红黑树的实现
红黑树的整体框架
红黑树的插入
变色
单旋+变色
双旋+变色
插入的完整代码
红黑树的查找
红黑树的验证
红黑树的测试
红黑树的概念
红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个节点增加一个存储位来表示节点的颜色（红色或者黑色），通过对任意一条从根到叶子的路径上各个节点的颜色进行约束，以达到没有任何一条路径会比其他路径的2倍还大，从而保持高度差的平衡。
红黑树的约束颜色规则
1.每个节点不是红色就是黑色。
2.根节点是黑色的。
3.红色节点的两个子节点必须是黑色，任意路径下不允许有连续的两个红色节点。
4.从任一节点到其每个叶子的所有路径上黑色节点数相同。
以下4可树均是合法的红黑树。
《算法导论》等书籍上补充了⼀条每个叶⼦结点(NIL)都是黑色的规则。他这⾥所指的叶子结点不是传统的意义上的叶子结点，⽽是我们说的空结点，有些书籍上也把NIL叫做外部结点。NIL是为了 ⽅便准确的标识出所有路径，《算法导论》在后续讲解实现的细节中也忽略了NIL结点，知道下即可。
如何确保最长路径不超过最短路径的2倍
根据颜色规则可知，在一棵红黑树中，设从根到叶子的每条路径都有 x 个黑色节点，那么最短路径就是全黑，长度为x，最长路径是一黑一红交替，长度为 2 * x。
事实上，最长路径和最短路径在每棵红黑树中不一定存在，任意一条从根到叶子的路径长度 l 的范围应该是x <= l <= 2 * x。
红黑树的效率
假设N为红黑树中节点数量，h是最短路径长度，既有 2 ^ h - 1 <= N < 2 ^ (2h) - 1，那么就有h ≈ logN，增删查改的时间复杂度为O(logN)。
红黑树的表达相对AVL树要抽象⼀些，AVL树通过高度差直观的控制了平衡。红黑树通过4条规则的颜色约束，间接的实现了近似平衡，他们效率都是同⼀档次，但是相对而言，插⼊相同数量的结点，红黑树的旋转次数是更少的，因为他对平衡的控制没那么严格。
红黑树的实现
红黑树的整体框架
//枚举值表示颜色
enum Color
{RED,BLACK
};template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{pair<K, V> _kv;RBTreeNode<K, V>* _left;RBTreeNode<K, V>* _right;RBTreeNode<K, V>* _parent;Color _col;RBTreeNode(const pair<K, V>& kv):_kv(kv),_left(nullptr),right(nullptr),_parent(nullptr){}};template<class K, class V>
class RBTree
{typedef RBTreeNode<K, V> Nodepublic:private:Node* _root = nullptr;
};红黑树的插入
红黑树的插入是实现红黑树最关键的一步，具体过程如下：
- 插入一个值按照二叉搜索树插入，插入后判断是否符合红黑树的4条规则
- 非空树的插入，插入的节点必须是红色节点，因为插入黑色节点破坏规则4，规则4很难维护；只有在空树插入的情况下，插入节点才可是是黑色，因为根节点必须是黑色。
- 非空树插入红色节点，如果父亲节点是黑色的，插入结束；如果父亲节点是红色的，违反了规则3，需要分情况讨论，进行变色和旋转操作。
新增节点为cur，cur的父亲为parent，parent的父亲为grandfather，parent的兄弟为uncle，这4个节点缩写为c、p、g、u。
以下这种情况就违反了规则3，需要特殊处理。
变色
当cur为红，parent为红，grandfather为黑，uncle存在且为红时，则将parent和parent变黑，grandfather变红，那这样就行了嘛吗？不，还没有结束，grandfather变红了，你无法保证grandfather的parent是黑色，grandfather的parent是红色的话还是违反规则，那就得把grandfather当成新的cur继续往上更新，可以说就是往上更新颜色这步，间接导致了单旋+变色和双旋+变色的情况出现。
无论cur是parent的左节点还是右节点，parent是grandparent的左节点还是节点，都是上面的处理方式。
单旋+变色
当cur为红，parent为红，grandfather为黑时：
若uncle不存在，则cur一定是新增节点；
若uncle存在且为黑，则cur一定不是新增的，是更新颜色变化出来的（将原来的grandfather黑色节点变成了红色，然后更新cur到grandfather）。
解决方法就是parent必须变黑，解决连续红色节点问题，但uncle不存在或者存在且为黑，单纯的变色无法解决，需要旋转+变色。
单旋+变色也需要分情况进行不同的旋转处理。
1.若parent是grandfather的左孩子，cur是parent的左孩子，那么先对parent进行右单旋，再把parent变黑，grandfather变红。
2.若parent是grandfather的右孩子，cur是parent的右孩子，那么先对parent进行左单旋，再把parent变黑，grandfather变红。
双旋+变色
单旋+变色的情况都是在cur和parent偏向同一边的情况下（同在左或同在右），那如果cur和parent不在同一边怎么办？这时候就要用双旋+变色解决了。
1.若parent是grandfather的左孩子，cur是parent的右孩子，那么先对parent进行左单旋，再把cur变黑，grandfather变红。
2.若parent是grandfather的右孩子，cur是parent的左孩子，那么先对parent进行左单旋，再把cur变黑，grandfather变红。
插入的完整代码
void RotateR(Node* parent)
{//subL为parent的左孩子节点Node* subL = parent->_left;//subLR为subL的右子节点Node* subLR = subL->_right;// 将parent与subLR节点进行链接parent->_left = subLR;//在SubLR的情况下更改，让其指向正确的父亲if (subLR)subLR->_parent = parent;//提前记录祖父节点Node* pParent = parent->_parent;//链接subL与parentsubL->_right = parent;parent->_parent = subL;//根据parent是否是根节点进行不同处理if (parent == _root){_root = subL;subL->_parent = nullptr;}else{//将pParent和subL链接//但得先判断parent是pParent的左节点还是右节点if (pParent->_left == parent)pParent->_left = subL;elsepParent->_right = subL;//修改subL的parent指针，让其指向正确的父亲subL->_parent = pParent;}}void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;Node* pParent = parent->_parent;subR->_left = parent;parent->_parent = subR;if (parent == _root){_root = subR;subR->_parent = nullptr;}else{if (pParent->_left == parent)pParent->_left = subR;elsepParent->_right = subR;subR->_parent = pParent;}}bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{//按二叉搜索树插入if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);//根节点为黑色_root->_col = BLACK;return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}elsereturn false;}cur = new Node(kv);//非空树插入红色节点cur->_col = RED;//判断cur应该插入到parent的左节点还是右节点if (kv.first > parent->_kv.first)parent->_right = cur;elseparent->_left= cur;//链接父亲cur->_parent = parent;//父亲是红色节点，出现连续的红色节点，要处理while (parent && parent->_col == RED){Node* grandfather = parent->_parent;//判断叔叔是grandfather的左节点还是右节点if (parent == grandfather->_left){Node* uncle = grandfather->_right;//uncle存在且为红if (uncle && uncle->_col == RED){// 变色parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;//继续向上更新颜色cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else //uncle不存在 或者 uncle存在且为黑{if (cur == parent->_left){// g// p u// cRotateR(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{// g// p u// cRotateL(parent);RotateR(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}else if (parent == grandfather->_right){Node* uncle = grandfather->_left;//uncle存在且为红if (uncle && uncle->_col == RED){//变色parent->_col = uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;//继续向上更新颜色cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else //uncle不存在 或者 uncle存在且为黑{if (cur == parent->_right){// g// u p// cRotateL(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{// g// u p // cRotateR(parent);RotateL(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;}}}_root->_col = BLACK;return true;
}代码解释：
- 向红黑树中插入一个key-value，如果是空树插入，则直接根据kv来new一个节点，然后赋值给_root，记得将根节点的颜色置为黑；
- 如果是非空树的插入，首先利用cur指针找到kv应该插入的位置，在此过程中也需要一个parent来记录cur的父亲，找到位置后，new节点赋值给cur，置节点颜色为红，这个时候还不能直接链接cur与parent，得先判断插入parent的左边还是右边，插入后记得修改cur的_parent指针。
- 接着就该判断插入节点cur与parent的颜色有没有发生冲突，如果parent的颜色是红色，那么就需要进行处理，可以说处理颜色冲突是红黑树插入的最重要操作。
- 首先得用grandfather来记录parent的父亲，然后得判断parent是grandfather的左节点还是右节点从而知道uncle节点的具体位置，这里就假设parent是grandfather的左节点，那么uncle就是右节点，由于uncle是左节点的情况是相对的，所以我们只需要讨论一种情况即可。
- 若uncle存在且为红，那么将parent和uncle的颜色置黑，grandfather的颜色置红，然后将cur移动到grandfather，重新记录parent，继续向上更新颜色。
- 继续更新颜色导致了uncle存在或者uncle存在且为黑的情况，分场景触发单旋+变色或双旋+变色，如果cur是parent的左节点就是parent和cur相较于grandfather偏向左边，左单旋+变色处理；cur是右边，左右双旋+变色。
- 注意触发单旋+变色或双旋+变色后，cur已经变成parent和grandfather的父亲了，记得break出循环，因为这时候以cur为根节点的子树已经是合法的红黑树，继续向上循环的话，cur就会变色了，你的处理就白忙活了。
红黑树的查找
跟二叉搜索树一样，不过多叙述。
Node* Find(const K& key)
{Node* cur = _root;while (cur){if (key > cur->_kv.first)cur = cur->_right;else if (key < cur->_kv.first)cur = cur->_left;elsereturn cur;}return nullptr;
}红黑树的验证
对于红黑树的验证，只需要验证4条颜色规则就行了，这样就保证了最长路径1不超过最短路径的2倍。
- 规则1枚举颜色类型，天然实现保证了颜色不是黑色就是红色。
- 规则2根节点是否为黑色直接检查根即可
- 规则3前序遍历检查，遇到红色结点查孩子不太方便，因为孩子有两个，且不⼀定存在，反过来检查父亲的颜色是否为红就方便多了。
- 规则4前序遍历，遍历过程中用形参记录跟到当前结点的blackNum（黑色结点数量)，前序遍历遇到黑色结点就++blackNum，走到空就计算出了⼀条路径的黑色结点数量。将其作为任意⼀条路径黑色结点数量的参考值，依次比较即可。
bool Check(Node* root, int blackNum, int refNum)
{if (root == nullptr){//检查是否与参考值相等if (refNum != blackNum){cout << "存在黑色结点的数量不相等的路径" << endl;return false;}return true;}//出现连续的红色节点返回falseif (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED){cout << root->_kv.first << "存在连续的红色结点" << endl;return false;}//遇到黑色节点，blackNum++if (root->_col == BLACK)blackNum++;return Check(root->_left, blackNum, refNum) && Check(root->_right, blackNum, refNum);
}bool IsRBTree()
{//空树也是REBTreeif (_root == nullptr)return true;if (_root->_col == RED)return false;//黑色节点的参考值int refNum = 0;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_col == BLACK)++refNum;cur = cur->_left;}return Check(_root, 0, refNum);
}红黑树的测试
void test_RBTree1()
{RBTree<int, int> t;//int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };//双旋测试用例int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16, 14 };for (auto e : a){t.Insert({ e, e });}//中序遍历t.InOrder();cout << t.IsRBTree() << endl;
}
随机数测试
void test_RBTree2()
{srand((unsigned int)time(0));int N = 10000000;vector<int> v(N);v.reserve(N);for (int i = 0; i < N; ++i){v.push_back(rand() + i);}size_t begin = clock();RBTree<int, int> t;for (auto e : v){t.Insert({ e, e });}size_t end = clock();cout << "Insert: " << end - begin << "ms" << endl;cout << t.IsRBTree() << endl;
}
拜拜，下期再见😏
摸鱼ing😴✨🎞
