非线性动力学笔记C6 相平面，不动点，线性化

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前言

提示：这里可以添加本文要记录的大概内容：

参考书《Nonlinear dynamics and chaos》 Steven H. Strogatz
本节重点Note第一章内容，图片来自于该书C6.1-6.3

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C6 相平面

本章研究对象仍然是二维非线性系统，主要讨论不动点相关的性质.

C6.1 相图

我们给出相平面上向量场的一般形式

$$\begin{gathered} {\dot{x}}_1=f_1(x_1,x_2) \\ {\dot{x}}_2=f_2(x_1,x_2) \end{gathered}$$
其中 $f_1$ 和 $f_2$ 是给定的函数。这个系统可以用向量表示法更简洁地写成$\dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x})$，其中$\mathbf{x}=(x_1,x_2)$ 且$\mathbf{f}(\mathbf{x})=(f_1(\mathbf{x}),f_2(\mathbf{x}))$. 这里 $\mathbf{x}$ 表示相平面上的一个点，$\dot{\mathbf{x}}$是该点的速度向量,如下图所示：

通过相图我们可以定性的找到解的一些行为,如下图所示：
1）我们观察到$A,B,C$为不动点，并且不动点满足$f(x^{\ast })=0$它对应系统处于平衡位置(steady state or equilibria)的点.
2) $D$显示了一个闭合轨道(closed orbit),它的特征是具有周期性的解(periodic solution),即$x(t+T)=x(t)$
3)靠近不动点处的轨迹是相似的，例如$A$和$C$,但是与$B$不同
4) 这里$A,B,C$

C6.2存在性，唯一性，拓扑结果

我们考虑一个非线性系统$\dot{x}=f(x)$
存在性和唯一性定理(Existence and Uniqueness Theorem)：考虑初值问题 $\dot{x}=f(x),x(0)=x_0$假设 $f$ 是连续的，并且其所有偏导数$\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$ 对于 $i,j=1,\dots ,n$ 在某个开连通集 $D\subset {\mathbb{R}}^n$上连续。那么对于 $x_0\in D$，初值问题在 $t=0$附近的某个时间区间 $(-\tau ,\tau )$ 上有一个解 $x(t)$，并且该解是唯一的。

换句话说，如果 $f$ 是连续可微的，则保证了解的存在性和唯一性。定理的证明与 $n=1$的情况相似，可以在大多数微分方程的教科书中找到。

从现在开始，我们将假设我们所有的向量场都足够光滑，以确保从相空间的任何点开始的解的存在性和唯一性。

存在性和唯一性定理有一个重要的推论：不同的轨迹永远不会相交。如果两条轨迹相交，那么就会出现多个解. 轨迹不能相交，将会使得相图总是看起来井然有序。否则，它们可能会退化成一团乱麻的交叉曲线.

在二维空间中，这会带来一些拓扑结论，对于一个相平面中的封闭轨道$C$.从$C$内部出发的将会永远被困在$C$中.
庞加莱-本迪克松定理(Poincaré-Bendixson theorem)指出，如果一条轨迹被限制在一个封闭的、有界的区域内，并且该区域内没有固定点，那么轨迹最终必须接近一个封闭轨道,

C6.3.不动点和线性化(linearization)

我们希望在相图的不动点附近用线性系统(linearized system)来近似.

考虑系统
$$\dot{x}=f(x,y),\dot{y}=g(x,y)$$
假设 $(x^{\ast },y^{\ast })$ 是一个不动点，因此$f(x^{\ast },y^{\ast })=0,g(x^{\ast },y^{\ast })=0.$

我们令
$u=x-x^{\ast },v=y-y^{\ast }$
表示从不动点处的一个小偏差。为了观察偏差是增长还是衰减，我们需要为 $u$ 和$v$ 推导微分方程。让我们先从$u$ 方程开始：

$$\begin{array}{rl}& \dot{u}=\dot{x}\text{（因为 x∗ 是一个常数）}\\ & =f(x^{\ast }+u,y^{\ast }+v)\text{（通过替换）}\\ & =f(x^{\ast },y^{\ast })+u\frac{\partial f}{\partial x}+v\frac{\partial f}{\partial y}+O(u^2,v^2,uv)\text{（泰勒级数展开）}\\ & =u\frac{\partial f}{\partial x}+v\frac{\partial f}{\partial y}+O(u^2,v^2,uv)\text{（因为 f(x∗,y∗)=0）}.\end{array}$$

为了简化记号，我们已经写出了 $\frac{\partial f}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial f}{\partial y}$，但请记住这些偏导数要在不动点 $(x^{\ast },y^{\ast })$ 处求值. 另外，简写记号 $O(u^2,v^2,uv)$ 表示$u$ 和 $v$ 的二次项。由于 $u$ 和 $v$ 很小，这些二次项是非常小的。
同样地，我们发现

$$\begin{array}{r}\dot{v}=u\frac{\partial g}{\partial x}+v\frac{\partial g}{\partial y}+O(u^2,v^2,uv).\end{array}$$

因此，偏差 ((u, v)) 按照以下方式演化：
$$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}\dot{u}\\ \dot{v}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial f}{\partial x}& \frac{\partial f}{\partial y}\\ \frac{\partial g}{\partial x}& \frac{\partial g}{\partial y}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)+\text{二次项(quadratic terms)}.\end{array}$$
2
矩阵
$$\begin{array}{c}A={\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial f}{\partial x}& \frac{\partial f}{\partial y}\\ \frac{\partial g}{\partial x}& \frac{\partial g}{\partial y}\end{array}\right)}_{(x^{\ast },y^{\ast })}\end{array}$$
被称为在不动点在 $(x^{\ast },y^{\ast })$ 处的 雅可比矩阵(Jacobian matrix)。

现在，由于方程 中的二次项非常小，我们可能会想要完全忽略它们。如果我们这样做，我们得到 线性化系统

$$\begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}\dot{u}\\ \dot{v}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\frac{\partial f}{\partial x}& \frac{\partial f}{\partial y}\\ \frac{\partial g}{\partial x}& \frac{\partial g}{\partial y}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)\end{array}$$

非线性项的作用

我们什么时候和可以放心忽略二次项呢？答案是我们要求线性化系统(linearized sytem)的不动点不是5.2节中讨论的边界情况(borderline cases). 而边界情况(bordline cases)指的是中心(centers)，退化节点(degenerate nodes)，星形节点(stars)或者非孤立不动点(non-isolated fixed point).
在看例子之前，我们先复习一下不动点的分类：

例子6.3.1

找到系统 $\dot{x}=-x+x^3,\dot{y}=-2y$ 的不动点，并使用线性化对它们进行分类。然后通过推导完整非线性系统的相图来验证结论。

解答： 不动点发生在 $\dot{x}=0$ 和 $\dot{y}=0$ 同时成立的地方。因此我们需要 $x=0$ 或 $x=\pm 1$，以及 $y=0$。因此有三个固定点：$(0,0)$，$(1,0)$ 和 $(-1,0)$。在一般点 $(x,y)$ 处的雅可比矩阵为
$$A=\left(\begin{array}{cc}-1+3x^2& 0\\ 0& -2\end{array}\right).$$

接下来我们在不动点处评估 $A$。在 $(0,0)$ 处，我们发现 $A=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -2\end{array}\right)$，所以 $(0,0)$ 是一个稳定节点。在 $(\pm 1,0)$ 处，$A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -2\end{array}\right)$，因此 $(1,0)$ 和 $(-1,0)$ 都是鞍点。

现在因为稳定节点和鞍点不是边界情况，我们可以正确识别了不动点。

对于这个非线性系统，因为 $x$ 和 $y$ 方程是解耦的；系统本质上是两个相互垂直的独立一阶系统。在 $y$ 方向上，所有轨迹都指数衰减到 $y=0$。在 $x$ 方向上，轨迹被吸引到 $x=0$ 并从 $x=\pm 1$ 排斥。垂直线 $x=0$ 和 $x=\pm 1$ 是不变的，因为它们上面的 $\dot{x}=0$；因此任何从这些线上开始的轨迹都会永远停留在上面。同样，$y=0$ 是一条不变的水平线。作为最后的观察，我们注意到相图必须在 $x$ 轴和 $y$ 轴上都是对称的，因为方程在变换 $x\to -x$ 和 $y\to -y$ 下是不变的。将所有这些信息综合起来，我们得到了下图所示的相图。

例子6.3.2

考虑系统
$$\begin{array}{rl}\dot{x}& =-y+ax(x^2+y^2)\\ \dot{y}& =x+ay(x^2+y^2)\end{array}$$
其中 $a$ 是一个参数。证明线性化系统错误地预测原点对于所有 $a$ 的值都是中心，而实际上原点是稳定的螺旋（如果 $a<0$）和不稳定的螺旋（如果 $a>0$）。

解答:为了得到关于 $(x^{\ast },y^{\ast })=(0,0)$ 的线性化，我们可以直接从定义计算雅可比矩阵，或者我们可以采用以下捷径。对于任何在原点有不动点的系统，$x$ 和 $y$ 表示从固定点的偏差，因为 $u=x-x^{\ast }=x$ 和 $v=y-y^{\ast }=y$；因此我们可以通过简单地省略 $x$ 和 $y$ 中的非线性项来进行线性化。因此线性化系统是 $\dot{x}=-y,\dot{y}=x$。雅可比矩阵是
$$A=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$$
它有 $\tau =0,\Delta =1>0$，所以根据线性化，原点总是一个中心。

为了分析非线性系统，我们将变量更改为极坐标。设 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$。为了推导出 $r$ 的微分方程，我们注意到 $x^2+y^2=r^2$，所以 $x\dot{x}+y\dot{y}=r\dot{r}$。代入 $\dot{x}$ 和 $\dot{y}$ 得到
$$\begin{array}{rl}r\dot{r}& =x(-y+ax(x^2+y^2))+y(x+ay(x^2+y^2))\\ & =a(x^2+y^2{)}^2\\ & =a{r}^4.\end{array}$$
因此 $\dot{r}=a{r}^3$。在练习 6.3.12 中，您被要求推导出 $\theta$ 的以下微分方程：
$$\dot{\theta }=\frac{x\dot{y}-y\dot{x}}{r^2}.$$
代入 $\dot{x}$ 和 $\dot{y}$ 后我们发现 $\dot{\theta }=1$。因此在极坐标中，原始系统变
为$$\begin{array}{rl}\dot{r}& =a{r}^3\\ \dot{\theta }& =1.\end{array}$$
这种形式下的系统很容易分析，因为径向和角向运动是独立的。角向运动很简单：所有轨迹都以恒定的角速度 $\dot{\theta }=1$ 绕原点旋转。径向运动取决于 $a$，如图 6.3.2 所示。如果 $a<0$，那么 $r(t)\to 0$ 单调地随着 $t\to \infty$。所以在这种情况下，原点是一个稳定的螺旋。（然而，请注意，衰减非常慢，如图 轨迹所示。）如果 $a=0$，那么对于所有的 $t$，$r(t)=r_0$

双曲型固定点、拓扑等价和结构稳定性

如果两个特征值的实部$\text{Re}(\lambda )\ne 0$，固不动点通常被称为双曲型。（这是一个不幸的命名——听起来应该意味着“鞍点”——但它已经成为标准。）双曲型固不动点是稳定的；它们的稳定性类型不受小的非线性项的影响。非双曲型不动点是脆弱的。

之前已经有过一个双曲型实例，在第 2.4 节中，我们看到不动点的稳定性可以通过线性化准确预测，只要 $(f^{\prime }(x^{\ast })\ne 0$。这个条件可以与 $\text{Re}(\lambda )\ne 0$ 类比。

这些概念也可以推广到高阶系统。如果 $n$ 阶系统的线性化的所有的特征值都位于虚轴之外，即 $\text{Re}({\lambda }_i)\ne 0$ 对于$i=1,\dots ,n$，那么该系统的一个不动点是双曲型的。重要的 Hartman-Grobman 定理指出，双曲型固定点附近的局部相图与线性化的相图是“拓扑等价”的；特别是，不动点的稳定性类型被线性化捕捉到。拓扑等价的意思是这里存在一个同胚（具有连续逆的连续变形），它将一个局部相图映射到另一个，使得轨迹映射到轨迹，并且时间的方向（箭头的方向）被保留。

直观上，两个相图就是拓扑等价意味着我们允许弯曲和扭曲，但不允许撕裂，因此封闭轨道必须保持封闭，连接鞍点的轨迹不能被打破，等等。