轨道力学课程习题集

第一讲：轨道力学概述

思考题

推导开普勒第三定律与牛顿万有引力定律的关系。
计算地球表面的第一宇宙速度和第二宇宙速度。
设计一个太阳同步轨道，高度为800公里，要求当地时间为上午10:30。
分析地球静止轨道的稳定性，并解释为什么地球静止卫星需要东西位置保持控制。
讨论低地球轨道的空间碎片问题，并提出可能的解决方案。
分析轨道能量与轨道周期之间的数学关系，并讨论这一关系在轨道设计中的应用。
拉格朗日点L1、L2和L3是线性不稳定的，而L4和L5是条件稳定的。请解释这种稳定性差异的物理原因，并分析其对航天任务设计的影响。
比较地球静止轨道与太阳同步轨道的特点，并分析各自在实际应用中的优缺点。
评估大气阻力、太阳辐射压和地球非球形引力场这三种主要摄动力对不同高度卫星轨道的相对影响大小。
讨论轨道共振现象在轨道设计中的利与弊，并举例说明如何利用或避免共振。
探讨引力助推技术的物理原理，并分析其在节省燃料方面的定量效果。举例说明历史上采用多次引力助推的深空探测任务。
分析近地小行星的轨道特性，讨论小行星撞击地球的风险评估方法和可能的防御策略。

习题

计算题：地球绕太阳运行的轨道离心率为0.0167，求地球到太阳的最近距离和最远距离。（已知地球轨道半长轴约为1.496×10^8公里）
计算题：某卫星在近地点高度为300公里，远地点高度为800公里的椭圆轨道上运行，求该卫星的轨道周期。
计算题：计算地球静止轨道的半径和周期。
轨道转移题：某航天器需要从200公里高的圆轨道转移到500公里高的圆轨道，使用霍曼转移，计算所需的总速度增量。
摄动分析题：分析月球引力对近地轨道卫星的摄动效应大小，并与J2摄动效应进行比较。
轨道设计题：某卫星在600公里高的圆轨道上运行，计算其轨道周期和轨道速度。若此卫星为太阳同步轨道，求其轨道倾角。
地面观测题：一颗通信卫星位于地球静止轨道上，其地面投影点在东经100度。计算从北京（北纬40度，东经116度）观测该卫星时的仰角和方位角。
轨道维持题：国际空间站的轨道高度约为400公里，轨道倾角为51.6度。估算由于大气阻力造成的轨道衰减率，并计算一次"重提升"机动需要的速度增量。
行星际转移题：某航天器在地球与火星之间进行霍曼转移，假设两颗行星轨道为圆轨道且共面，求转移所需的总速度增量和转移时间。（地球轨道半径为1天文单位，火星轨道半径为1.524天文单位）
逃逸速度题：计算在月球表面的第一宇宙速度和第二宇宙速度。（月球质量为地球质量的1/81，月球半径为地球半径的0.273）
轨道参数题：某卫星位于半长轴为26,600公里、离心率为0.74的大椭圆轨道上。计算该卫星的近地点和远地点高度，以及在近地点和远地点的速度。
碰撞风险题：假设一颗卫星在轨道高度1000公里处以1千米每秒的相对速度与一个10厘米直径的空间碎片发生最近接近。若两者位置的协方差矩阵已知，计算其碰撞概率。

第二讲：二体问题基础

思考题

证明角动量守恒定律。具体来说，从二体问题的相对运动方程出发，证明角动量矢量 $\vec{h} = \vec{r} \times \vec{v}$ 是一个常矢量。并讨论这一结论对轨道形状的影响。
考虑一个近地卫星，轨道半长轴为7000公里，偏心率为0.1。计算该卫星在近地点和远地点的速度和高度。讨论卫星在这两个点的动能和势能分布情况，并解释能量守恒原理在轨道运动中的体现。
探讨轨道倾角的物理意义。特别地，分析不同倾角（如0°、30°、60°、90°、120°和180°）对轨道覆盖范围和航天器可见性的影响。在什么情况下我们会选择极轨道（i≈90°）或逆行轨道（i>90°）？
已知一颗卫星在某一时刻的位置矢量 $\vec{r} = (5000, 3000, 2000)$ 公里，速度矢量 $\vec{v} = (-3, 5, 1)$ 公里/秒，假设地球引力参数 $\mu = 398600$ 立方公里/平方秒。计算该卫星的轨道根数（半长轴、偏心率、轨道倾角、升交点赤经、近地点幅角和真近点角）。
分析霍曼转移轨道的能量特性。证明在两个共面圆轨道之间，霍曼转移是能量最优的转移方式。计算从300公里高度的圆轨道转移到36000公里高度的地球同步轨道所需的总速度增量，并讨论转移过程中的能量变化。
讨论双曲线轨道的物理特性与应用。特别地，分析双曲线轨道中的偏转角与偏心率的关系，并解释这一关系在引力助推任务设计中的应用价值。
从轨道周期角度比较开普勒三大定律与牛顿力学理论。具体推导开普勒第三定律在牛顿万有引力定律框架下的精确表达式，并分析两颗恒星双星系统的轨道周期与质量关系。
探讨二体问题中的Lagrange点的物理意义及稳定性特征。特别分析L1、L2和L4、L5点的不同稳定性特征，并讨论这些特殊点在现代航天任务中的应用。
分析轨道摄动对二体问题理想解的影响。特别讨论地球非球形引力场（主要是J2项）如何影响卫星的升交点赤经和近地点幅角的长期演化。
考察轨道衰变问题。假设一颗卫星在低地球轨道运行，受到大气阻力的影响，讨论其轨道参数（特别是半长轴和偏心率）的变化规律，并推导出轨道寿命的估算公式。
探讨开普勒方程的物理意义及数值求解方法。对比分析牛顿迭代法、级数展开法和几何法在解决不同偏心率轨道的开普勒方程时的适用性和精度。
讨论二体近似在实际航天工程中的适用范围和局限性。具体分析在何种情况下需要考虑高阶摄动模型，以及不同摄动力对轨道长期演化的影响程度。

习题

计算题：一颗卫星围绕地球运行在圆轨道上，高度为500公里。求：
(a) 卫星的轨道周期
(b) 卫星的轨道速度
© 如果要将该卫星转移到800公里高度的圆轨道，使用霍曼转移轨道需要的总速度增量
证明题：证明二体问题中，对于椭圆轨道，轨道周期T与半长轴a之间的关系为 $2\pi\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}$ 。
分析题：已知一颗卫星的轨道根数为：a = 8000公里，e = 0.2，i = 45°，Ω = 30°，ω = 60°，θ = 0°。
(a) 计算卫星在近地点的位置和速度矢量
(b) 计算卫星的轨道周期
© 讨论这颗卫星是否会穿过范艾伦辐射带（假设内带位于海拔1000-6000公里，外带位于海拔15000-25000公里）
应用题：一个月球探测任务需要设计从地球到月球的转移轨道。假设地球和月球处于同一平面内，地月距离为384400公里。
(a) 设计一条霍曼转移轨道从地球低轨道（200公里高）到月球轨道
(b) 计算所需的发射速度增量和到达月球附近的速度
© 如果需要被月球捕获进入环月轨道（高度为100公里），需要额外的减速量是多少？
概念题：比较并对比三种不同类型的轨道（圆轨道、椭圆轨道和双曲线轨道）在以下方面的特点：
(a) 能量特性
(b) 角动量特性
© 航天器速度变化规律
(d) 适用的航天任务类型
设计题：为一颗地球观测卫星设计合适的轨道。该卫星需要：
(a) 每天在同一地方经过大约同一时间（太阳同步）
(b) 覆盖全球大部分区域
© 具有足够的分辨率以观测地表特征（假设传感器要求高度不超过1000公里）
请给出轨道设计方案，包括轨道类型、高度、倾角和其他相关参数，并说明理由。
综合题：一个行星际探测任务需要从地球飞往火星。
(a) 描述地球和火星之间的霍曼转移轨道特性
(b) 计算该转移轨道的飞行时间
© 讨论发射窗口的概念及其对此类任务的重要性
(d) 如果考虑使用引力助推技术，可能的飞行路径有哪些？这些方案相比直接转移有何优缺点？
工程实践题：在轨道确定过程中，我们通常需要从观测数据中推导出轨道参数。
(a) 讨论不同类型观测数据（角度观测、距离测量、多普勒测量等）的优缺点
(b) 描述一种常用的轨道确定算法，并分析其适用条件和局限性
© 如果观测数据存在噪声，如何评估轨道确定的不确定性？
轨道变轨题：一颗卫星需要从近地点高度200公里、远地点高度1000公里的椭圆轨道变轨至500公里高的圆轨道。
(a) 设计两种不同的变轨方案（如双脉冲和三脉冲方案）
(b) 计算各方案所需的总速度增量
© 比较各方案的优缺点，并推荐最优方案
轨道寿命题：一颗微小卫星（立方体卫星）在轨道高度300公里处释放。已知该卫星质量为4公斤，横截面积为0.04平方米，阻力系数为2.2。
(a) 估算该卫星的轨道寿命（假设太阳活动处于中等水平）
(b) 如果初始轨道偏心率为0.01，讨论偏心率如何随时间演化
© 提出一种延长该卫星轨道寿命的方法，并定量分析其效果
开普勒方程求解题：某卫星在偏心率为0.3的椭圆轨道上运行。已知其平近点角M = 60°。
(a) 使用牛顿迭代法求解其偏近点角E
(b) 进一步计算其真近点角ν
© 如果卫星距离地心为8000公里，求其轨道半长轴
摄动分析题：一颗侦察卫星在高度800公里、倾角98°的近圆轨道上运行。
(a) 分析J2项摄动对该卫星轨道的主要影响
(b) 计算升交点赤经的日进动率
© 如果希望设计一个回归轨道（地面轨迹定期重复），轨道高度应如何调整？

第三讲：轨道要素与坐标变换

思考题

试分析地球同步轨道的轨道要素特点。特别地，讨论地球静止轨道（GEO）、倾斜同步轨道和椭圆同步轨道这三类地球同步轨道在轨道要素上的区别，并分析它们各自的应用场景和优缺点。
考虑一颗近地卫星，其轨道根数为：半长轴 $a = 7000$ 公里，偏心率 $e = 0.02$ ，轨道倾角 $51.6^\circ$ ，升交点赤经 $\Omega = 135^\circ$ ，近地点幅角 $\omega = 90^\circ$ ，真近点角 $\theta = 45^\circ$ 。请计算该卫星在地心惯性坐标系（ECI）中的位置和速度矢量，然后将其转换到地心地固坐标系（ECEF）中。假设计算时刻的格林尼治平均恒星时为 $180^\circ$ 。
探讨轨道倾角改变机动的最佳位置和能量消耗。具体地，证明在升交点或降交点进行倾角改变最为高效，并计算改变倾角 $\Delta i$ 所需的速度增量 $\Delta v$ 。分析为什么大倾角变化在航天工程中被认为是代价高昂的机动。
在进行坐标变换时，四元数相比欧拉角有哪些优势？请设计一个具体的航天器姿态控制算例，分别使用欧拉角和四元数进行计算，比较两种方法在奇异性处理、计算效率和数值稳定性方面的差异。
研究地心惯性坐标系（ECI）和地心地固坐标系（ECEF）之间的精确变换。除了地球自转外，还需要考虑哪些因素？详细解释岁差、章动和极移对坐标变换的影响，并评估在不同精度要求下可以采用的简化模型。
分析近赤道轨道、极轨道和太阳同步轨道这三种特殊轨道在轨道要素选取上的考虑因素。具体讨论轨道倾角、升交点赤经和近地点幅角如何影响这些轨道的性能和应用特性。
探讨轨道要素中特殊性问题。当轨道偏心率接近于0（近圆轨道）时，近地点幅角变得不确定；当轨道倾角接近于0（赤道轨道）时，升交点赤经变得不确定。请分析这些数学奇异性如何影响轨道描述和计算，以及在实际工程中如何克服这些问题。
考察日心坐标系和地心坐标系之间的变换。推导从日心黄道坐标系到地心赤道坐标系的变换矩阵，并讨论这种变换在行星际任务设计和观测中的应用。
探讨轨道平面内真近点角、偏近点角和平近点角这三种角度表示方法的物理意义和数学关系。分析在不同偏心率条件下，它们各自的优缺点，并讨论为什么在轨道预报和任务设计中通常使用平近点角作为独立变量。
研究导航卫星星座的轨道设计原则。以GPS系统为例，分析其轨道倾角、轨道平面分布和相位安排如何实现全球覆盖。讨论为什么北斗系统采用了不同于GPS的混合星座构型（包括MEO、GEO和IGSO轨道），并评估这种设计的优缺点。
分析J2摄动对轨道要素的影响。特别地，推导J2摄动引起的升交点赤经和近地点幅角的长期变化率公式，并讨论如何利用这些效应设计特殊轨道（如太阳同步轨道和冻结轨道）。
探讨位置矢量和速度矢量（ $\vec{r}$ 和 $\vec{v}$ ）与经典轨道根数之间的变换算法的数值稳定性问题。分析在近圆轨道、近赤道轨道和高偏心率轨道等特殊情况下可能出现的计算挑战，并提出改进方法。

习题

计算题：计算一颗半长轴为25000公里、偏心率为0.3的近地椭圆轨道卫星在近地点和远地点的高度和速度。（已知地球半径约为6378公里，地球引力常数μ≈398600.4418 km³/s²）
轨道确定题：一颗地球卫星的位置和速度矢量在地心惯性坐标系中分别为r⃗ = [5000, 8000, 2000]公里和v⃗ = [-6.5, 2.8, 3.2]公里/秒。求该卫星的轨道要素（a, e, i, Ω, ω, θ）。
轨道特性分析题：对于地球同步轨道，当卫星轨道偏心率e=0.3时，计算近地点和远地点的高度，以及卫星在轨道上不同位置的角速度变化规律。
坐标变换题：设计一个算法，将地心惯性坐标系(ECI)中表示的卫星位置和速度转换到地心地固坐标系(ECEF)中，并计算卫星相对于地面站（纬度45°N，经度75°W）的方位角和仰角。
轨道机动题：一颗卫星需要从近地点高度500公里、远地点高度1500公里的椭圆轨道，转移到高度1000公里的圆轨道。请计算在近地点施加切向速度增量，使轨道远地点降低到1000公里高度的情况下，所需的速度增量大小，并分析此次机动对其他轨道要素的影响。
摄动分析题：某卫星在近圆轨道上运行，轨道高度为600公里，倾角为97.8°。已知卫星轨道受到J2摄动影响，计算其升交点赤经的进动率和近地点幅角的进动率。
轨道力学计算题：从轨道根数计算轨道周期和能量。给定半长轴a=8000公里，偏心率e=0.1的椭圆轨道，计算其周期、能量以及近地点和远地点速度。
姿态变换题：利用欧拉角序列进行航天器姿态变换。一个航天器需要从初始姿态（相对于惯性系）旋转到目标姿态，分别使用"3-1-3"和"3-2-1"欧拉角序列计算所需的角度，并比较两种方法的差异。
空间碰撞分析题：已知两颗卫星的轨道根数，判断它们是否会发生碰撞。卫星A的轨道根数为：a₁=7000公里，e₁=0.02，i₁=50°，Ω₁=100°，ω₁=30°；卫星B的轨道根数为：a₂=7100公里，e₂=0.03，i₂=51°，Ω₂=102°，ω₂=28°。计算两卫星轨道的最近接近距离，并评估碰撞风险。
特殊轨道设计题：计算太阳同步轨道的设计参数。对于高度为780公里的圆轨道，计算实现太阳同步所需的轨道倾角，并分析轨道高度与所需倾角之间的关系。
通信轨道设计题：设计Molniya轨道的参数。为覆盖高纬度地区（如北纬60°以上），设计一个周期为12小时的Molniya轨道，计算所需的轨道参数，包括半长轴、偏心率、倾角和近地点幅角。
长期轨道演化题：进行轨道摄动分析。一颗卫星在近圆轨道（半长轴7000公里，偏心率0.001）上运行，考虑J2摄动，计算100天内轨道各要素的变化情况，并特别分析这些变化对卫星地面覆盖特性的影响。

第六讲：特殊轨道与应用

思考题

对于一颗地球静止卫星，受到J₂摄动影响，其轨道倾角会如何变化？请分析这种变化对通信覆盖的影响，以及工程上如何解决这一问题。
分析重复轨道和太阳同步轨道的结合应用。如果要设计一个既是太阳同步又是重复轨道的卫星，其设计参数有哪些约束条件？
随着低轨星座的快速发展，轨道安排变得日益复杂。请讨论如何在设计低轨卫星星座时，权衡覆盖性能、延迟时间、轨道寿命和避碰安全等多种因素。
冻结轨道在理论上可以减少轨道维持需求，但实际工程中还存在哪些因素可能破坏轨道的"冻结"特性？如何在实际工程中评估这些因素的影响？
月球轨道和火星轨道中，是否也存在类似地球轨道的特殊轨道类型？请分析不同天体环境下特殊轨道设计的异同点。
倾斜同步轨道的地面轨迹会形成"8"字形。请分析这种轨迹的形成原理，以及如何通过选择适当的轨道参数来优化特定区域的覆盖效果。
地球静止轨道资源有限且宝贵。请分析目前国际上对地球静止轨道位置和频率资源的分配机制，并讨论未来可能的改进方向。
某些特殊轨道（如Molniya轨道）利用了临界倾角的特性。请解释临界倾角的物理意义，并分析其在轨道设计中的应用价值。
太阳同步轨道通常是近圆轨道，而冻结轨道通常具有小但非零的偏心率。请分析为什么这两种特殊轨道具有这样的特性，以及偏离这些特性会带来什么影响。
重复轨道的设计需要考虑地球引力场非球形项的影响。请分析J₂项如何影响重复轨道的周期，以及如何在实际设计中进行补偿。
随着空间资源利用的发展，L4/L5拉格朗日点可能成为未来空间基础设施的重要位置。请分析在地球-月系统的L4/L5点部署空间站的优势与挑战。
比较分析传统的Walker-Delta星座和最新的SpaceX Starlink星座的轨道设计差异，讨论这些差异对系统性能和空间环境的影响。

习题

计算类题目

地球同步轨道计算题：计算地球静止轨道卫星的轨道周期、高度和轨道速度。地球引力常数μ = 3.986×10¹⁴ m³/s²，地球自转周期为23小时56分4秒。
太阳同步轨道计算题：某卫星要设计为太阳同步轨道，高度为780公里，求该卫星的轨道倾角。（地球赤道半径Re = 6378.137公里，J₂ = 0.00108263）
重复轨道计算题：设计一个5日/71圈的重复轨道，计算其轨道高度和周期。假设地球为理想球体，自转周期为恒星日（23小时56分4秒）。
倾斜同步轨道可见性计算题：某北斗倾斜同步轨道卫星轨道倾角为55°，轨道周期等于恒星日。计算该卫星一天内对北京地区（北纬40°，东经116°）的可见时间。
轨道维持计算题：地球静止卫星受到太阳和月球引力摄动的影响，其轨道倾角会逐渐增大。计算这种倾角变化的年增长率，并估算保持零倾角所需的年度速度增量。
特殊点轨道计算题：计算在地球-月L1点附近的Halo轨道周期和振幅特性。假设地球质量为5.97×10²⁴ kg，月球质量为7.35×10²² kg，地月距离为384,400公里。

设计类题目

冻结轨道设计题：设计一个冻结轨道，要求轨道高度约为800公里。计算最佳轨道倾角和偏心率，使得轨道近地点的漂移率最小。
多参数轨道设计题：某地球观测卫星需要设计为3天重复周期的太阳同步轨道，且当地过境时间约为上午10:30。设计其轨道参数，包括高度、倾角和升交点赤经的漂移率。
高偏心率轨道设计题：设计一个Molniya轨道，使卫星在北半球高纬度地区（如北纬60°以上）的可见时间最长。计算最佳轨道参数，包括轨道倾角、偏心率和近地点幅角。
星座设计题：设计一个能够对赤道地区进行每日三次观测的卫星星座，使用太阳同步轨道。计算所需的最少卫星数量及其轨道参数。

分析类题目

星座优化分析题：一颗低轨通信卫星星座采用Walker Delta设计，共60颗卫星分布在5个轨道平面内，轨道高度为1200公里。分析每个平面内卫星数量及相位因子，使全球覆盖性能最优。
冻结轨道稳定性分析题：某卫星采用近圆形冻结轨道，高度约500公里，倾角为63.4°。分析轨道长期演化中偏心率的平衡值和近地点幅角的稳定位置，并解释这些值的物理意义。

第七讲：交会对接技术

思考题

Hill方程中的相对运动为什么会出现漂移现象？如何设计初始条件使相对轨道不漂移？
比较分析主动-被动对接和机械臂捕获两种方式的优缺点。在什么情况下各自更为适合？
如果两个航天器的质量相差悬殊（如一个大型空间站和一个小型飞船），对接冲击对两者的影响有何不同？如何减轻这种影响？
设计一种应对通信延迟的深空交会对接策略。考虑地球-火星通信延迟为20分钟的情况，如何确保交会对接的安全性和可靠性？
为提高交会对接的燃料效率，你会采用哪些技术手段？请结合轨道力学原理分析。
C-W方程适用于圆轨道，而现实中许多航天器运行在偏心轨道上。分析在偏心轨道情况下使用C-W方程会产生哪些误差，这些误差如何影响交会对接任务？
分析航天器在交会过程中太阳辐射压、大气阻力等摄动因素的影响，并讨论如何在导航和控制策略中补偿这些影响。
讨论交会对接过程中的视线遮挡问题。当目标航天器进入地球阴影区或被太阳直射时，相对导航系统会面临哪些挑战？如何解决这些问题？
设计一种能够适应目标航天器姿态失稳（如翻滚）情况的交会对接策略。考虑传感器、控制算法和机械结构设计等方面。
国际空间站和中国空间站采用了不同的交会对接技术路线。比较分析这两种技术路线的差异，并讨论各自的优缺点和适用场景。
在未来的小行星采矿或太空制造任务中，可能需要多个航天器同时与一个核心结构对接。分析这种"多点交会对接"任务的技术挑战，并提出可能的解决方案。
分析人工智能和机器学习技术在交会对接中的潜在应用。这些技术可以解决哪些传统方法难以解决的问题？面临哪些挑战？

习题

轨道计算题：某目标航天器运行在高度为400 km的圆轨道上，追踪航天器位于同一轨道平面内，但落后目标航天器100 km。
(a) 设计一个燃料最优的交会轨道，使追踪航天器在两个轨道周期内与目标航天器会合
(b) 计算每次机动的时间、位置和速度增量
© 分析该方案与霍曼转移的区别和优势
相对轨道设计题：已知Hill方程的解析通解。
(a) 设计追踪航天器的初始状态，使其相对于目标航天器的轨迹为一个2 km × 1 km的椭圆（长轴沿径向），且不产生漂移
(b) 分析这种相对轨道的稳定性特征
© 如果考虑J2摄动，相对轨道将如何变化
接近轨迹设计题：某追踪航天器需要与目标航天器进行对接，初始相对距离为10 km，相对速度为0。
(a) 设计一个V-bar接近轨迹（沿目标航天器速度方向接近），要求中途有两个制动点
(b) 计算每个点的速度增量
© 分析该接近策略的安全性和鲁棒性
动力学分析题：研究航天器对接过程中的冲击动力学。
(a) 两航天器对接时，对接机构的刚度为k = 10^5 N/m，阻尼系数为c = 10^4 N·s/m，若追踪航天器质量为10000 kg，接触速度为0.1 m/s，估算对接过程中的最大冲击力和冲击持续时间
(b) 分析质量比对冲击特性的影响
© 提出减轻冲击效应的方法并评估其效果
复杂任务规划题：针对非圆轨道交会问题。
(a) 某目标航天器在轨道高度500 km、偏心率为0.1的椭圆轨道上，追踪航天器需要在目标航天器的近地点附近完成交会
(b) 设计一个多脉冲交会策略，并计算总速度增量
© 比较不同交会点（近地点、远地点、其他位置）的优缺点
对接机构评估题：分析特定对接机构的性能。
(a) 对于雄达式对接机构，计算其在对接过程中的导向和捕获能力范围（最大允许的对准误差和接触速度）
(b) 比较雄达式和国际对接系统标准(IDSS)的异同
© 针对特定任务场景，提出对接机构的改进建议

第八讲：行星际轨道设计

思考题

分析地球到火星的霍曼转移轨道设计，计算最佳发射时机和所需的速度增量。
引力助推技术对深空探测任务的意义是什么？试举例说明几个成功利用多重引力助推的历史任务。
比较化学推进系统和电推进系统在行星际轨道设计中的优缺点。
讨论不同轨道优化方法（如直接法、间接法、进化算法等）在行星际轨道设计中的适用场景。
试分析低能量轨道（如不变流形轨道）在未来太阳系探索中的潜在应用。
考虑设计一个从地球到木星的任务，探讨在不同任务约束（如飞行时间、推进剂消耗等）下，应如何选择合适的轨道设计方案。
分析行星际飞行中自主导航技术的关键挑战，并讨论其对轨道设计的影响。
讨论太阳帆推进技术的工作原理，并设计一个利用太阳帆从地球飞向小行星带的任务方案。
研究多体问题动力学在行星际轨道设计中的应用，特别是拉格朗日点及其稳定/不稳定流形的利用。
分析行星际轨道设计中的不确定性因素（如太阳风、辐射压力等），并探讨如何在轨道设计中考虑这些因素。
讨论人工智能和机器学习技术如何应用于行星际轨道优化，并分析其优势和局限性。
考虑一个往返于地球和火星之间的循环任务，设计能量高效的轨道方案，并讨论发射窗口的选择策略。

习题

引力助推分析题：研究木星引力助推的效果。
(a) 某航天器需要飞越木星进行引力助推，木星的质量为1.898×10^27 kg，航天器相对木星的超速度为10 km/s，飞越距离为200,000 km，计算飞越偏转角
(b) 计算可能获得的最大速度增量
© 分析飞越距离对偏转角和速度增量的影响
捕获轨道设计题：设计火星探测器的制动方案。
(a) 航天器在接近火星时，距离火星10,000 km处的相对速度为5 km/s
(b) 设计一个制动方案，使航天器进入环火星圆轨道，轨道高度为400 km
© 计算所需的速度变化，并分析制动失败的风险及应对措施
低推力轨道设计题：规划电推进任务。
(a) 某探测器需要从地球轨道（1 AU）转移到小行星带（2.7 AU）进行探测，使用电推进系统（比冲3000秒，推力0.1 N）
(b) 设计一条螺旋上升轨道，并计算所需的推进剂质量和飞行时间，探测器初始质量为1000 kg
© 比较该方案与化学推进系统的优缺点
轨道优化题：研究轨道面调整策略。
(a) 某航天器在太阳系内执行多星连飞任务，现位于距太阳3 AU处，轨道倾角为5°，若需将轨道面调整为与黄道面重合
(b) 计算直接平面机动所需的速度增量
© 计算采用双椭圆转移策略所需的速度增量，并确定最佳转移点
应急轨道设计题：处理航天器故障情况。
(a) 某行星际探测器在执行任务过程中发生故障，推进系统只能提供总共500 m/s的速度变化能力，该探测器当前位于火星和木星之间的太阳轨道上（半长轴3 AU，偏心率0.2）
(b) 设计一个利用最少的速度变化使其能够返回地球的方案
© 分析轨道设计对任务持续时间的影响，并评估成功概率