数据结构 —— FloydWarshall算法

我们之前介绍的两种最短路径算法都是单源最短路径，就是我们要指定一个起点来寻找最短路径，而我们今天介绍的FloydWarshall算法，可以不指定源点，找到最短路径：

FloydWarshall算法

在介绍FloydWarshall算法之前，我们先来想一个问题，就是：最短路径要经过多少顶点呢？
第一种情况他俩之间就是最短距离：

第二种，中间经过了许多结点：

Floyd-Warshall算法是一种在有向图中寻找所有顶点对之间的最短路径的算法。它可以在图中包含负权边的情况下工作，但是图中不能包含负权循环。

以下是Floyd-Warshall算法的基本步骤：

1. 初始化：创建一个n×n的距离矩阵D，其中D[i][j]表示从顶点i到顶点j的最短路径的长度。如果(i,j)之间没有直接的边，则D[i][j]设置为无穷大。对于所有的顶点i，D[i][i]=0。

2. 对于每一个中间顶点k，更新距离矩阵D。具体来说，对于每一对顶点(i, j)，如果D[i][j] > D[i][k] + D[k][j]，则更新D[i][j]为D[i][k] + D[k][j]。这相当于检查是否可以通过k作为中间顶点来获得从i到j的更短路径。

3. 重复步骤2，直到所有可能的中间顶点都被考虑过。

4. 最后，距离矩阵D中的每个元素D[i][j]将包含从顶点i到顶点j的最短路径的长度。

void FloydWarshall(vector<vector<W>>& vvDest, vector<vector<int>>& vvParentpath)
{// 调整vvDest和vvParentpath的大小与顶点数量一致vvDest.resize(_vertex.size());vvParentpath.resize(_vertex.size());// 初始化距离矩阵为最大权重（表示不可达）// 初始化前驱节点矩阵为-1（表示无前驱节点）for (size_t i = 0; i < _vertex.size(); i++){vvDest[i].resize(_vertex.size(), MAX_W);vvParentpath[i].resize(_vertex.size(), -1);}// 初始化距离矩阵和前驱节点矩阵// 如果两个顶点间存在直接连接，则设置距离矩阵的相应位置为该连接的权重// 并且设置前驱节点为当前顶点for (size_t i = 0; i < _vertex.size(); i++){for (size_t j = 0; j < _vertex.size(); j++){// 同一顶点到自身的距离为0，前驱节点为-1if (i == j){vvDest[i][j] = 0;vvParentpath[i][j] = -1;}// 如果两顶点之间有直接连接，并且权重不是最大权重（即可达）if (_matrix[i][j] != MAX_W){vvDest[i][j] = _matrix[i][j];vvParentpath[i][j] = i;}else{// 如果两顶点之间不可达，前驱节点为-1vvParentpath[i][j] = -1;}}}// 这里是核心部分，遍历所有顶点作为中间顶点，以检查是否存在更短路径for (size_t k = 0; k < _vertex.size(); k++){for (size_t i = 0; i < _vertex.size(); i++){for (size_t j = 0; j < _vertex.size(); j++){// 如果存在通过顶点k作为中间顶点的更短路径，则更新距离和前驱节点if (vvDest[i][k] != MAX_W && vvDest[k][j] != MAX_W && vvDest[i][k] + vvDest[k][j] < vvDest[i][j]){vvDest[i][j] = vvDest[i][k] + vvDest[k][j];vvParentpath[i][j] = vvParentpath[k][j];}}}// 打印每次迭代后的距离矩阵和前驱节点矩阵（可选）//打印权值和路径矩阵观察数据//cout << "     ";//for (size_t i = 0; i < _vertex.size(); i++)//{//	cout << _vertex[i] << " ";//}//cout << endl;for (size_t i = 0; i < _vertex.size(); ++i){cout << _vertex[i] << " ";for (size_t j = 0; j < _vertex.size(); ++j){if (vvDest[i][j] == MAX_W){//cout << "*" << " ";printf("%3c", '*');}else{//cout << vvDest[i][j] << " ";printf("%3d", vvDest[i][j]);}}cout << endl;}cout << endl;for (size_t i = 0; i < _vertex.size(); ++i){for (size_t j = 0; j < _vertex.size(); ++j){//cout << vvParentPath[i][j] << " ";printf("%3d", vvParentpath[i][j]);}cout << endl;}cout << "=================================" << endl;}}
}

我们构建这样的图：

	void TestFloydWarshall(){const char* str = "12345";Graph<char, int, INT_MAX, true> g(str, strlen(str));g.AddEdge('1', '2', 3);g.AddEdge('1', '3', 8);g.AddEdge('1', '5', -4);g.AddEdge('2', '4', 1);g.AddEdge('2', '5', 7);g.AddEdge('3', '2', 4);g.AddEdge('4', '1', 2);g.AddEdge('4', '3', -5);g.AddEdge('5', '4', 6);vector<vector<int>> vvDist;vector<vector<int>> vvParentPath;g.FloydWarshall(vvDist, vvParentPath);}

大家可以对应一下上面的图，这里注意一下，我们的路径的数组存储的是下标，所以每组的第二个图比上图中的数值小1，这是正常的。

我们可以把每个结点到其他结点的最短路径打印出来：

	void TestFloydWarshall(){const char* str = "12345";Graph<char, int, INT_MAX, true> g(str, strlen(str));g.AddEdge('1', '2', 3);g.AddEdge('1', '3', 8);g.AddEdge('1', '5', -4);g.AddEdge('2', '4', 1);g.AddEdge('2', '5', 7);g.AddEdge('3', '2', 4);g.AddEdge('4', '1', 2);g.AddEdge('4', '3', -5);g.AddEdge('5', '4', 6);vector<vector<int>> vvDist;vector<vector<int>> vvParentPath;g.FloydWarshall(vvDist, vvParentPath);// 打印任意两点之间的最短路径for (size_t i = 0; i < strlen(str); ++i){g.PrintShortestPath(str[i], vvDist[i], vvParentPath[i]);cout << endl;}}

我们也可以把之前小潮的图拿出来测测：

三种最短路径算法比较

在图论中，寻找最短路径是常见的问题，有多种算法可以解决这个问题，包括Dijkstra算法、Bellman-Ford算法和Floyd-Warshall算法。下面是对这三种算法的比较：

1. Dijkstra算法

适用场景：适用于没有负权边的加权图，无论是有向还是无向图。

优点：

• 时间复杂度较低，使用优先队列优化后的时间复杂度为O((V+E)logV)。
• 算法简单，易于理解和实现。

缺点：

• 不能处理含有负权边的图。

2. Bellman-Ford算法

适用场景：适用于任何加权图，包括含有负权边的图，但不能有负权回路。

优点：

• 可以检测并报告图中是否存在负权回路。
• 对于稀疏图，性能优于Floyd-Warshall算法。

缺点：

• 时间复杂度较高，为O(VE)，当E较大时效率低。
• 每次迭代都需要更新所有边，即使某些边的最短路径已经确定。

3. Floyd-Warshall算法

适用场景：适用于任何加权图，包括含有负权边的图，但不能有负权回路。特别适合于求解所有顶点对之间的最短路径问题。

优点：

• 可以一次计算出所有顶点对的最短路径。
• 算法简洁，易于理解。

缺点：

• 时间复杂度高，为O(V^3)，对于大规模图的计算效率低下。
• 需要额外的空间来存储中间结果，空间复杂度为O(V^2)。

总结

• 如果只需要求解单源最短路径问题，且图中没有负权边，Dijkstra算法是首选。
• 如果图中可能含有负权边，但没有负权回路，Bellman-Ford算法更为适用。
• 当需要求解所有顶点对之间的最短路径时，Floyd-Warshall算法是最直接的选择，尽管它的时间和空间复杂度较高。

选择哪种算法取决于具体的问题背景和图的特性。