部分分式分解（Partial Fraction Decomposition）

部分分式分解（Partial Fraction Decomposition） 是一种将一个分式分解为若干较简单的分式之和的技术，通常用于积分、拉普拉斯变换、和差分方程的求解中。

目标

假设你有一个分式：
$$\frac{P(x)}{Q(x)}$$
其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 是多项式，并且 $\text{degree}(P(x))<\text{degree}(Q(x))$。部分分式分解的目标是将这个分式分解为若干个形式更简单的分式之和，这些分式的分母通常是$Q(x)$ 的因式。

示例

考虑以下分式：
$$\frac{5x+7}{(x-1)(x+2)}$$

我们可以将其分解为部分分式：
$$\frac{5x+7}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}$$

步骤

1. 假设形式：
   根据 (Q(x)) 的因式，假设部分分式的形式。在这个例子中，$Q(x)=(x-1)(x+2)$，所以部分分式的形式是：
   $$\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}$$

2. 合并分式：
   将假设的部分分式合并成一个分式，使分母与原分式的分母相同：
   $$\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}=\frac{A(x+2)+B(x-1)}{(x-1)(x+2)}$$

3. 比较分子：
   现在比较分子：
   $$5x+7=A(x+2)+B(x-1)$$
   展开并整理后得到：
   $$5x+7=(A+B)x+(2A-B)$$

4. 设定方程：
   将系数相等的部分分离：
   $$\begin{array}{rl}A+B& =5\\ 2A-B& =7\end{array}$$

5. 解方程：
   解这组线性方程组得到 (A) 和 (B) 的值：
   $$A=4,B=1$$

6. 写出部分分式：
   将求得的$A$和 $B$代入假设的部分分式中：
   $$\frac{5x+7}{(x-1)(x+2)}=\frac{4}{x-1}+\frac{1}{x+2}$$

应用

部分分式分解在求解积分时尤其有用，因为它将复杂的分式积分转化为较简单的、易于处理的分式积分。例如：
$$\int \frac{5x+7}{(x-1)(x+2)}dx=\int \left(\frac{4}{x-1}+\frac{1}{x+2}\right)dx$$
通过部分分式分解，你可以将积分问题简化为两个更简单的对数积分。