python实现线性判别分析 (LDA) 降维算法

1.线性判别分析 (LDA) 降维算法的Python实现

线性判别分析（Linear Discriminant Analysis，LDA）是一种常用的降维技术，特别适用于有监督的分类问题。它通过投影到较低维度空间，最大化类间方差并最小化类内方差，从而实现数据的线性分离。LDA 不仅降低了数据的维度，还保留了用于区分类别的信息，使其在分类问题中具有良好的表现。

2.LDA算法的基本思想

LDA旨在通过寻找一个将数据投影到的线性子空间，使得投影后的类间方差最大化，同时类内方差最小化。这样可以保证不同类别的样本在投影后尽可能分离，且同一类别的样本尽可能聚集。

2.1类间方差矩阵 $S_B$

类间方差矩阵 $S_B$ 用于衡量不同类别的均值之间的散布程度。公式为：

$$S_B=\sum _{i=1}^k{N}_i({\mu }_i-\mu )({\mu }_i-\mu {)}^T$$

其中：

• $N_i$ 表示第 $i$ 类的样本数
• ${\mu }_i$ 是第 $i$ 类的均值向量
• $\mu$ 是所有样本的均值向量
• $k$ 是类别的数量

2.2类内方差矩阵 $S_W$

类内方差矩阵 $S_W$ 用于衡量每个类别内部的样本散布程度。公式为：

$$S_W=\sum _{i=1}^k\sum _{x\in C_i}(x-{\mu }_i)(x-{\mu }_i{)}^T$$

其中：

• $x$ 表示每个样本
• $C_i$ 表示第 $i$ 类的样本集合

2.3优化目标

LDA的目标是找到一个投影矩阵 $W$，使得投影后的样本最大化类间方差和类内方差的比值：

$$W=\text{argmax}\frac{|W^T{S}_{B}W|}{|W^T{S}_{W}W|}$$

通过求解该优化问题，LDA可以找到最优的投影矩阵，将高维数据投影到低维空间。

3.LDA的Python实现

接下来，我们使用面向对象编程（OOP）的思想在Python中实现LDA算法。我们将创建一个 LDA 类，包含训练模型、降维和预测功能。

import numpy as npclass LDA:def __init__(self, n_components=None):"""初始化LDA模型:param n_components: 降维后的目标维度，如果为None，则降至类别数-1的维度"""self.n_components = n_componentsself.means_ = Noneself.scalings_ = Noneself.explained_variance_ratio_ = Nonedef fit(self, X, y):"""训练LDA模型:param X: 输入数据矩阵，形状为 (n_samples, n_features):param y: 标签数组，形状为 (n_samples,)"""n_samples, n_features = X.shapeclasses = np.unique(y)n_classes = len(classes)if self.n_components is None:self.n_components = n_classes - 1# 计算总体均值mean_overall = np.mean(X, axis=0)# 初始化类内方差矩阵和类间方差矩阵S_W = np.zeros((n_features, n_features))S_B = np.zeros((n_features, n_features))for c in classes:X_c = X[y == c]mean_c = np.mean(X_c, axis=0)S_W += (X_c - mean_c).T @ (X_c - mean_c)n_c = X_c.shape[0]mean_diff = (mean_c - mean_overall).reshape(n_features, 1)S_B += n_c * (mean_diff @ mean_diff.T)# 求解广义特征值问题A = np.linalg.inv(S_W) @ S_Beigvals, eigvecs = np.linalg.eig(A)# 按照特征值的绝对值大小排序eigvecs = eigvecs[:, np.argsort(-np.abs(eigvals))]eigvals = eigvals[np.argsort(-np.abs(eigvals))]# 选择前n_components个特征向量self.scalings_ = eigvecs[:, :self.n_components]self.explained_variance_ratio_ = np.abs(eigvals[:self.n_components]) / np.sum(np.abs(eigvals))# 保存每个类别的均值self.means_ = {}for c in classes:self.means_[c] = np.mean(X[y == c], axis=0)def transform(self, X):"""将数据投影到LDA子空间:param X: 输入数据矩阵，形状为 (n_samples, n_features):return: 投影后的数据，形状为 (n_samples, n_components)"""return X @ self.scalings_def predict(self, X):"""使用LDA模型进行分类预测:param X: 输入数据矩阵，形状为 (n_samples, n_features):return: 预测标签，形状为 (n_samples,)"""X_projected = self.transform(X)preds = []for x in X_projected:distances = [np.linalg.norm(x - mean) for mean in self.means_.values()]preds.append(np.argmin(distances))return np.array(preds)def fit_transform(self, X, y):"""训练模型并返回投影后的数据:param X: 输入数据矩阵，形状为 (n_samples, n_features):param y: 标签数组，形状为 (n_samples,):return: 投影后的数据，形状为 (n_samples, n_components)"""self.fit(X, y)return self.transform(X)

4.代码解析

1. 初始化：

   • __init__ 方法初始化了LDA模型，包括目标维度 n_components，类均值 means_，特征向量 scalings_，以及解释方差比 explained_variance_ratio_。

2. 训练模型：

   • fit 方法计算类内方差矩阵 $S_W$ 和类间方差矩阵 $S_B$，并通过求解广义特征值问题找到投影矩阵 scalings_。同时，该方法保存每个类别的均值以便后续分类使用。

3. 数据投影：

   • transform 方法将输入数据投影到LDA子空间，返回降维后的数据。

4. 预测分类：

   • predict 方法将投影后的数据与每个类别的均值进行比较，基于欧氏距离进行分类预测。

5. 训练并投影：

   • fit_transform 方法结合了 fit 和 transform，方便一次性完成训练和投影。

5.实际应用场景：手写数字识别

为了展示LDA的实际应用，我们使用手写数字数据集（如MNIST）来实现分类任务。这个数据集包含0-9的手写数字图像，通过LDA降维后，我们可以将其投影到2D或3D空间中进行可视化，并在低维空间中进行分类。

5.1数据准备

首先，我们从数据集中提取样本，并将图像展平为一维向量。

from sklearn.datasets import load_digits
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler# 加载数据集
digits = load_digits()
X, y = digits.data, digits.target# 数据标准化
scaler = StandardScaler()
X = scaler.fit_transform(X)# 划分训练集和测试集
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)

5.2使用LDA降维

接下来，我们使用LDA将数据降维至2D，并可视化投影结果。

# 初始化LDA模型并进行训练
lda = LDA(n_components=2)
X_train_lda = lda.fit_transform(X_train, y_train)# 可视化LDA投影结果
import matplotlib.pyplot as pltplt.figure(figsize=(10, 6))
for i in range(10):plt.scatter(X_train_lda[y_train == i, 0], X_train_lda[y_train == i, 1], label=f'Class {i}')
plt.xlabel('LDA Component 1')
plt.ylabel('LDA Component 2')
plt.legend()
plt.title('LDA Projection of Digits Dataset')
plt.show()

5.3分类效果

最后，我们使用LDA进行分类，并评估模型的性能。

# 使用LDA进行分类预测
y_pred = lda.predict(X_test)# 计算准确率
from sklearn.metrics import accuracy_scoreaccuracy = accuracy_score(y_test, y_pred)
print(f'LDA Classification Accuracy: {accuracy:.4f}')

6.总结

通过LDA算法，我们可以在保证分类信息的前提下将高维数据投影到低维空间，从而减少计算复杂度并提高分类效率。本文展示了LDA的数学原理、Python实现以及在手写数字识别中的应用。通过面向对象编程的方式，我们实现了一个LDA类，集成了训练、投影和分类功能，便于在各种分类问题中应用LDA算法。